Renormamiento en espacios de Banach

Abstract

La Tesis está compuesta por un capítulo introductorio y cuatro capítulos<br/>que pasamos a describir.<br/><br/>El Capítulo 2 contiene un análisis de las funciones que son posiblemente<br/>módulo de convexidad (m.c.) para un espacio de Banach uniformemente<br/>convexo (UC). Se muestra que las funciones m.c. están caracterizadas,<br/>salvo equivalencia, por ciertas propiedades clásicas de éstas.<br/><br/>En el Capítulo 3, se estudia la noción de m.c. de una función convexa<br/>definida en un espacio de Banach. Éste es el primer trabajo con resultados<br/>generales y completos en espacios de Banach. Se muestra que un espacio es<br/>superreflexivo sii admite una función (UC) definida en todo el espacio.<br/><br/>En el Capítulo 4 se resuelve un problema establecido por Godefroy y<br/>Zizler; un espacio de Banach superreflexivo con base de Schauder admite<br/>una norma (UC) que hace monótona a la base. Se obtienen mejoras de<br/>estimaciones de James y Gurari.<br/><br/>En el Capítulo 5 el autor estudia la noción del módulo de cuadratura. Éste<br/>permite reconocer la (UC) y la suavidad uniforme. El autor define la<br/>versión local, y prueba varias caracterizaciones del comportamiento<br/>puntual de la norma.

The thesis consists of one introductory chapter and four chapters<br/>containing original mathematical results. Let us pass to a brief<br/>description of the main results.<br/><br/>Chapter 2 contains an analysis of the possible modulus of rotundity<br/>functions (m.r.f) for a given uniformly rotund (UC) Banach space. It is<br/>shown that m.r.f. are characterized, up to equivalence, by certain<br/>classical properties of them.<br/><br/>In Chapter 3, the notion of m.r. for a convex function defined on a Banach<br/>space is studied. This seems to be the first instance of rather complete<br/>general results on Banach spaces. It is shown that a Banach space is<br/>superreflexive iff it admits a (UC) function defined on the whole space.<br/><br/>In Chapter 4 a problem asked by Godefroy and Zizler is solved; a<br/>superreflexive Banach space with Schauder basis can be renormed by (UC)<br/>norm which makes the given basis monotone. An improvement of a result of<br/>Gurarii is an immediate corollary.<br/><br/>In Chapter 5 the author studies the notion of modulus of squareness. It<br/>allows to recognize (UC) and uniform smoothness. The author succeeds to<br/>define the local version, and proves various characterizations of<br/>pointwise behaviour of the norm.