Metric-aware optimization of high-order meshes for curved adaptivity

Abstract

(English) To enhance the simulation accuracy when the solution presents sharp curved features, the community of high-order methods has started to curve not only the boundary but also the interior of unstructured high-order meshes. Many of these approaches contribute to curved high-order adaptivity based on error estimators. The error estimators determine a discrete metric that is used to modify the curved high-order mesh. Unfortunately, although all these approaches must modify the mesh coordinates, no approach considers metric-aware optimization of curved high-order meshes for a high-polynomial degree. Furthermore, the existing approaches neither explicitly enforce unitary Riemannian measures for all mesh entities nor specifically devise a specific-purpose solver for curved sharp features. To address these issues, this thesis aims to demonstrate metric-aware optimization of high-order meshes on curved geometry with the coordinates as design variables. To this end, it proposes the following contributions. First, to verify and optimize the stretching and alignment deviation between the mesh and an analytic metric, we define a differentiable shape distortion measure for curved high-order meshes. Second, to enforce unitary Riemannian measures of the mesh entities, we define a differentiable size-shape distortion measure for curved high-order meshes. Third, to efficiently minimize with tight tolerances a point-wise metric-aware distortion measure for curved high-order meshes, we devise a specific-purpose solver. Fourth, to apply Newton’s method for the distortion minimization of meshes equipped with a discrete target metric, we derive up to second-order the derivatives for a high-order metric interpolation. Finally, to also match curved boundaries, we derive up to second-order the derivatives for an implicit CAD representation. In conclusion, this thesis demonstrates metric-aware optimization of high-order meshes on curved geometry. To this end, it proposes a novel metric- and geometry- aware mesh optimization framework and a specific-purpose optimization solver. These novelties will contribute to error-driven curved high-order adaptivity. Hence, they will help to enhance the simulation accuracy for solutions presenting sharp curved features.

(Català) Per tal de preservar la fidelitat d'una simulació on la solució presenta característiques corbes pronunciades, la comunitat de mètodes d'alt ordre ha començat a corbar no només la vora sinó també l'interior de malles d'alt ordre no estructurades. Algunes d'aquestes tècniques contribueixen a l'adaptabilitat corba d'alt ordre basada en estimadors de l'error. Els estimadors de l'error determinen una mètrica discreta que s'utilitza per modificar la malla corba d'alt ordre. Desafortunadament, tot i que tots aquests mètodes han de modificar les coordenades de la malla, no hi ha cap mètode que consideri l'optimització d'acord amb la mètrica de malles corbes d'alt ordre per a un grau polinòmic elevat. A més, els mètodes existents no forcen mesures Riemannianes unitàries per a totes les entitats de la malla ni dissenyen particularment un optimitzador específic del problema per a característiques corbes pronunciades. Per abordar aquests problemes, aquesta tesi pretén mostrar l'optimització, d'acord amb una mètrica, de malles d'alt ordre en geometria corba amb les coordenades com a variables de disseny. Per aquest motiu, es proposen les següents contribucions. Primer, per tal de verificar i optimitzar la desviació d'escorçament i alineament entre una malla i una mètrica analítica, definim una mesura diferenciable de distorsió de forma per a malles corbes d'alt ordre. Segon, per forçar mesures Riemannianes unitàries de les entitats de la malla, definim una mesura diferenciable de distorsió de tamany-forma per a malles corbes d'alt ordre. Tercer, per tal de minimitzar eficientment, amb toleràncies estrictes, una mesura de distorsió que varia punt a punt d'acord amb una mètrica per a malles corbes d'alt ordre, dissenyem un optimitzador específic del problema. Quart, per tal d'aplicar el mètode de Newton a la minimització de la distorsió en malles equipades amb una mètrica discreta, derivem fins a segon ordre les derivades per a una interpolació mètrica d'alt ordre. Finalment, per aconseguir que les vores corbes siguin simultàniament satisfetes, derivem fins a segon ordre les derivades d'una representació CAD implícita. En conclusió, aquesta tesi mostra l'optimització de malles d'alt ordre d'acord amb una mètrica i en geometria corba. Per aquest motiu, es proposa un nou mètode d'optimització de malla d'acord amb mètrica i geometria, així com un optimitzador de problema específic. Aquestes novetats contribuiran a l'adaptabilitat corba d'alt ordre basada en estimadors de l'error, i per tant ajudaran a millorar la precisió de les simulacions per a solucions que presentin característiques corbes pronunciades.