Infinite Chains in the Tree of Numerical Semigroups and Generalizations

Abstract

Els semigrups numèrics són subconjunts de enters no negatius que contenen el zero, tancats per la suma i tenen complement finit en els enters no negatius. Malgrat la seva senzilla definició, molts problemes fonamentals es mantenen sense resoldre des de fa dècades. El tema global de la meva recerca és el recompte de semigrups numèrics segons el gènere, un problema iniciat per Maria Bras-Amorós, que va conjecturar que la seqüència que compta els semigrups numèrics amb un gènere donat exhibeix un comportament similar al de la seqüència de Fibonacci. S’han fet molts avenços teòrics i computacionals significatius en la comprensió d’aquesta seqüència, incloent-hi fites i propietats asimptòtiques. L’arbre de semigrups numèrics és una eina fonamental en aquesta investigació, ja que estructura els semigrups jeràrquicament segons el seu gènere.

L’objectiu central d’aquesta tesi és l’estudi de les cadenes infinites en l’arbre de semigrups, les quals corresponen a seqüències de semigrups numèrics amb infinits descendents. Aquesta recerca refina caracteritzacions anteriors de cadenes infinites i demostra que, a mesura que el gènere augmenta, els semigrups numèrics que pertanyen a cadenes infinites són cada cop més difícils de trobar. A més, es calcula explícitament el nombre de semigrups numèrics en cadenes infinites amb multiplicitat de fins a $7$. Finalment, la tesi amplia aquests conceptes al context dels semigrups numèrics generalitzats (GNS), que són submonoides de $\N_0^d$ amb complement finit. S’explora un marc per als arbres de GNS i es presenta una caracterització de les cadenes infinites en aquest context generalitzat.

: Los semigrupos numéricos son subconjuntos de enteros no negativos que contienen el cero, cerrados bajo la suma y con un complemento finito en los enteros no negativos. A pesar de su sencilla definición, muchos problemas fundamentales en la teoría han permanecido sin resolver durante décadas. El tema principal de esta investigación es el recuento de semigrupos numéricos por género, un problema iniciado por Maria Bras-Amorós, quien conjeturó que la secuencia que cuenta los semigrupos numéricos con un género dado exhibe un comportamiento similar a la sucesión de Fibonacci. Se han logrado avances teóricos y computacionales significativos en la comprensión de esta secuencia, incluyendo cotas y propiedades asintóticas. El árbol de semigrupos numéricos es una herramienta fundamental en esta investigación, ya que estructura los semigrupos jerárquicamente según su género.

El objetivo central de esta tesis es el estudio de cadenas infinitas en el árbol de semigrupos, las cuales corresponden a secuencias de semigrupos numéricos con infinitos descendientes. Esta investigación refina caracterizaciones previas de cadenas infinitas y demuestra que, a medida que el género aumenta, los semigrupos numéricos que pertenecen a cadenas infinitas se vuelven cada vez más raros. Además, se calcula explícitamente el número de semigrupos numéricos en cadenas infinitas con multiplicidad de hasta $7$. Finalmente, la tesis extiende estos conceptos al contexto de los semigrupos numéricos generalizados (GNS), que son submonoidales de $\N_0^d$ con complemento finito. Se explora un marco para los árboles de GNS y se presenta una caracterización de cadenas infinitas en este contexto generalizado.

Numerical semigroups are subsets of the non-negative integers that contain zero, are closed under addition, and have a finite complement in the non-negative integers. Despite their straightforward definition, many fundamental problems have remained unsolved for decades. The overarching theme of this research is the counting of numerical semigroups by genus, a problem initiated by Maria Bras-Amorós, who conjectured that the sequence counting numerical semigroups with a given genus exhibits Fibonacci-like behavior. Significant theoretical and computational advances have been made in understanding this sequence, including bounds and asymptotic properties. The tree of numerical semigroups serves as a fundamental tool in this investigation, as it structures semigroups hierarchically according to their genus.

The central goal of this thesis is the study of infinite chains in the semigroup tree, which correspond to sequences of numerical semigroups with infinitely many descendants. This research refines previous characterizations of infinite chains and demonstrates that, as the genus increases, numerical semigroups belonging to infinite chains become rare. Furthermore, the number of numerical semigroups in infinite chains with multiplicity up to $7$ is explicitly computed. Additionally, the thesis extends these concepts to the setting of generalized numerical semigroups (GNS), which are submonoids of $\N_0^d$ with finite complement. A framework for trees of GNSs is explored, and a characterization of infinite chains in this generalized setting is provided.