Geometric properties of harmonic measure

Abstract

Aquesta tesi se centra principalment en l’estudi del problema de condició de frontera de Dirichlet (harmònic i el·líptic). El capítol final tracta un problema independent de teoria geomètrica de la mesura: l’estructura del suport de mesures localment uniformes i localment uniformement distribuïdes.

En termes generals, donat un domini (prou regular), el problema de condició de frontera de Dirichlet (harmònic) consisteix a trobar una extensió harmònica d’una funció donada a la frontera. Per a funcions contínues a la frontera, la solució està determinada per la mesura harmònica: l’única mesura de Radon de probabilitat que reconstrueix l’extensió harmònica mitjançant la integració de la funció en la frontera. El problema de condició de frontera de Dirichlet el·líptic i la mesura el·líptica es defineixen de manera similar, substituint el Laplacià per un operador de segon ordre en forma de divergència amb una matriu uniformement el·líptica.

Els tres primers capítols investiguen la dimensió de Hausdorff de mesures el·líptiques en dominis plans. El Capítol I presenta material preliminar i estableix resultats fonamentals sobre la mesura el·líptica. El Capítol II se centra en dos casos particulars: matrius simètriques amb determinant 1, i dominis CDC. Mitjançant l’aplicació de mapes quasiconformes, derivem noves cotes per a la dimensió de Hausdorff que només depenen de la constant d’el·lipticitat. Per a matrius amb hipòtesis addicionals de regularitat, establim estimacions dimensionals més precises. Aquests resultats amplien el treball clàssic de Makarov, Jones i Wolff al context el·líptic, alhora que recuperen els seus famosos teoremes en el cas harmònic. Al Capítol III, ampliem el teorema de Wolff a mesures el·líptiques associades a matrius de Lipschitz en dominis Reifenberg flat, demostrant que aquestes mesures tenen longitud $\sigma$-finita si la planitud és prou petita segons l’el·lipticitat de la matriu.

El Capítol IV tracta la resolubilitat en $L^2$ del problema de condició de frontera de Dirichlet (harmònic) per a dominis amb frontera no acotada i localment plana. És a dir, no només establim l’existència d’una extensió harmònica per a dades de frontera en $L^2$, sinó que també provem que la norma $L^2$ de la funció màximal no tangencial d’aquesta extensió està controlada per la norma $L^2$ de la dada de la frontera. Seguint enfocaments clàssics, la nostra anàlisi es basa en tècniques de layer potentials. A més, ampliem aquests resultats al cas $L^p$ per a $p$ en un interval dependent de la dimensió, i establim la resolubilitat en $L^{p^\prime}$ per al problema de Neumann corresponent.

La tesi conclou amb el Capítol V, sobre mesures localment uniformes i localment uniformement distribuïdes. Tot i que l’estructura de mesures (globalment) uniformes i (globalment) uniformement distribuïdes està ben compresa gràcies al treball de Kirchheim, Kowalski i Preiss (encara que queden alguns problemes oberts), els anàlegs locals encara no estan del tot caracteritzats. Demostrem que, per a mesures localment uniformes, la curvatura mitjana nul·la (definida gairebé a tot arreu en el suport en codimensió 1) en un punt força la planitud de la component connexa que conté el punt. A més, provem que per a mesures localment uniformement distribuïdes, la planitud local d’una component connexa implica la seva planitud global. Aquests dos resultats es presenten en qualsevol codimensió. Aquests són, aparentment, dels primers resultats en una possible extensió (si és certa) del teorema de Kirchheim i Preiss sobre la naturalesa real-analítica de mesures globalment uniformement distribuïdes al cas local. A més, mostrem que si una mesura localment uniforme satisfà una condició addicional estàndard de creixement en boles centrades en un entorn d’una component connexa del seu suport, llavors aquesta component ha de ser una varietat lineal.

Esta tesis se centra principalmente en el estudio del problema de condición de frontera de Dirichlet (armónico y elíptico). El capítulo final trata un problema independiente de teoría geométrica de la medida: la estructura del soporte de medidas localmente uniformes y localmente uniformemente distribuidas.

En términos generales, dado un dominio (suficientemente regular), el problema de condición de frontera de Dirichlet (armónico) consiste en encontrar una extensión armónica de una función dada en la frontera. Para funciones continuas en la frontera, la solución está determinada por la medida armónica: la única medida de Radon de probabilidad que reconstruye la extensión armónica mediante la integración de la función en la frontera. El problema de condición de frontera de Dirichlet elíptico y la medida elíptica se definen de forma similar, reemplazando el operador Laplaciano por un operador de segundo orden en forma de divergencia con una matriz uniformemente elíptica.

Los tres primeros capítulos investigan la dimensión de Hausdorff de medidas elípticas en dominios planos. El Capítulo I presenta material preliminar y establece resultados fundamentales sobre la medida elíptica. El Capítulo II se centra en dos casos particulares: matrices simétricas con determinante 1 y dominios CDC. A través de aplicaciones de mapas cuasiconformes, derivamos nuevas cotas para la dimensión de Hausdorff que dependen únicamente de la constante de elipticidad. Para matrices con hipótesis adicionales de regularidad, obtenemos estimaciones dimensionales más refinadas. Estos resultados extienden el trabajo clásico de Makarov, Jones y Wolff al contexto elíptico, recuperando a su vez sus célebres teoremas en el caso armónico. En el Capítulo III, extendemos el teorema de Wolff a medidas elípticas asociadas a matrices de Lipschitz en dominios Reifenberg flat, demostrando que dichas medidas tienen longitud $\sigma$-finita siempre que la planitud sea suficientemente pequeña en función de la elipticidad de la matriz.

El Capítulo IV aborda la resolubilidad en $L^2$ del problema de condición de frontera de Dirichlet (armónico) en dominios con frontera localmente plana no acotada. Es decir, no solo establecemos la existencia de una extensión armónica para datos de frontera en $L^2$, sino que también demostramos que la norma $L^2$ de la función máximal no tangencial de dicha extensión está controlada por la norma $L^2$ del dato en la frontera. Siguiendo enfoques clásicos, nuestro análisis se basa en técnicas de layer potentials. Extendemos además estos resultados al contexto $L^p$ para $p$ en un rango dependiente de la dimensión, y establecemos la resolubilidad en $L^{p^\prime}$ para el problema de Neumann correspondiente.

La tesis concluye con el Capítulo V, sobre medidas localmente uniformes y localmente uniformemente distribuidas. Mientras que la estructura de medidas (globalmente) uniformes y (globalmente) uniformemente distribuidas está bien comprendida gracias al trabajo de Kirchheim, Kowalski y Preiss (aunque aún quedan problemas abiertos), los análogos locales no están completamente caracterizados. Demostramos que para medidas localmente uniformes, la curvatura media nula (definida casi en todas partes en el soporte en codimensión 1) en un punto fuerza la planitud de la componente conexa que contiene dicho punto. Además, probamos que para medidas localmente uniformemente distribuidas, la planitud local de una componente conexa implica su planitud global. Estos dos resultados se presentan en cualquier codimensión. Estos parecen ser de los primeros resultados hacia una posible extensión (si resulta cierta) del teorema de Kirchheim y Preiss sobre la naturaleza real-analítica de medidas globalmente uniformemente distribuidas al caso local. Asimismo, mostramos que si una medida localmente uniforme satisface una condición adicional estándar de crecimiento sobre bolas centradas en un entorno de una componente conexa de su soporte, entonces esa componente conexa debe ser una variedad lineal.

This thesis focuses primarily on the study of the (harmonic and elliptic) Dirichlet boundary value problem. The final chapter treats an independent problem in geometric measure theory: the structure of the support of locally uniform and locally uniformly distributed measures.

Briefly speaking, given a (sufficiently regular) domain, the (harmonic) Dirichlet boundary value problem consists of finding a harmonic extension of a given function defined on the boundary. For continuous functions on the boundary, the solution is determined by the harmonic measure: the unique Radon probability measure that reconstructs the harmonic extension through integration of the boundary function. The elliptic Dirichlet boundary value problem and elliptic measure are defined similarly, with the Laplacian replaced by a second-order operator in divergence form with uniformly elliptic matrix.

The first three chapters investigate the Hausdorff dimension of elliptic measures in planar domains. Chapter I presents preliminary material and establishes fundamental results concerning elliptic measure. Chapter II focuses on two particular cases: symmetric matrices with determinant 1, and CDC domains. Through the application of quasiconformal mappings, we derive new bounds for the Hausdorff dimension that depend solely on the ellipticity constant. For matrices with additional regularity assumptions, we establish more refined dimensional estimates. These results extend the classical work of Makarov, Jones, and Wolff to the elliptic setting, while recovering their celebrated theorems in the harmonic case. In Chapter III, we extend Wolff's theorem to elliptic measures associated with Lipschitz matrices in Reifenberg flat domains, proving that these measures have $\sigma$-finite length provided small enough flatness depending on the ellipticity of the matrix.

Chapter IV addresses the $L^2$ solvability of the (harmonic) Dirichlet boundary value problem for domains with unbounded locally flat boundary. That is, we not only establish the existence of a harmonic extension for boundary data in $L^2$, but also prove that the $L^2$ norm of the nontangential maximal function of this extension is controlled by the $L^2$ norm of the boundary data. Following classical approaches, our analysis relies on layer potential techniques. We further extend these results to the $L^p$ setting for $p$ in a dimension-dependent range, and establish the $L^{p^\prime}$ solvability for the corresponding Neumann problem.

The thesis concludes with Chapter V, on locally uniform and locally uniformly distributed measures. While the structure of (globally) uniform and (globally) uniformly distributed measures is well understood through work of Kirchheim, Kowalski, and Preiss (though some open problems remain), the local analogues are not yet fully characterized. We prove that for locally uniform measures, vanishing mean curvature (defined almost everywhere in the support in codimension 1) at a point forces flatness of the connected component that contains the point. Furthermore, we prove that for locally uniformly distributed measures, local flatness of a connected component implies its global flatness. These two results are presented in any codimension. These appear to be among the first results in a possible extension (if true) the Kirchheim and Preiss theorem on the real-analytic nature of globally uniformly distributed measures to this local setting. Moreover, we show that if a locally uniform measure satisfies an additional standard growth condition on balls centered in a neighborhood of a connected component of its support, then that connected component must be a linear variety.