The range problem and dimension theory for the Cuntz semigroup

Abstract

En aquesta tesi s’estudien diversos aspectes del semigrup de Cuntz associat a una C*-àlgebra, així com els anomenats semigrups de Cuntz abstractes. En particular, analitzem el problema del rang per la classe d’àlgebres AI separables, obtenint una caracterització completa. També s’introdueix una noció de dimensió per semigrups de Cuntz abstractes, que en el cas de funcions contínues sobre un espai topològic coincideix amb la dimensió usual de Lebesgue. Aquesta dimensió també es relaciona amb la dimensió nuclear d’una C*-àlgebra, i es prova que ambdues coincideixen en casos significatius. Es para especial atenció al cas zero dimensional, on es pot donar una caracterització d’aquests semigrups en termes de condicions de densitat d’uns elements privilegiats. Finalment, s’introdueix la noció de C*-àlgebres rarament disperses, i es prova que és una classe molt àmplia, incloent totes les àlgebres simples de dimensió infinita. Es donen diverses caracteritzacions d’aquest concepte, incloent una descripció en termes de propietats de divisibilitat del semigrup de Cuntz. Aquesta noció està íntimament lligada a l’anomenat Problema Global de Glimm, que també s’analitza a la tesi, donant-ne una reformulació mitjançant condicions del semigrup de Cuntz.

En esta tesis se estudian varios aspectos del semigrupo de Cuntz asociado a una C*-álgebra, así como los llamados semigrupos de Cuntz abstractos. En particular, analizamos el problema del rango para la clase de álgebras AI separables, obteniendo una caracterización completa. También se introduce una noción de dimensión por semigrupos de Cuntz abstractos, que en el caso de funciones contínuas sobre un espacio topológico coincide con la dimensión usual de Lebesgue. Esta dimensión también se relaciona con la dimensión nuclear de una C*-álgebra, y se prueba que ambas coinciden en casos significativos. Se presta especial atención al caso cero dimensional, donde puede darse una caracterización de estos semigrupos en términos de condiciones de densidad de unos elementos privilegiados. Por último, se introduce la noción de C*-álgebras raramente dispersas, y se prueba que es una clase muy amplia, incluyendo todas las álgebras simples de dimensión infinita. Se dan diversas caracterizaciones de este concepto, incluyendo una descripción en términos de propiedades de divisibilidad del semigrupo de Cuntz. Esta noción está íntimamente ligada al llamado Problema Global de Glimm, que también se analiza en la tesis, dando una reformulación mediante condiciones del semigrupo de Cuntz.

In this thesis various aspects of the Cuntz semigroup associated with a C*-algebra are studied, as well as the so-called abstract Cuntz semigroups. In particular, we analyze the rank problem by the class of separable AI algebras, obtaining a complete characterization. A notion of dimension for abstract Cuntz semigroups is also introduced, which in the case of continuous functions on a topological space coincides with the usual Lebesgue dimension. This dimension is also related to the nuclear dimension of a C*-algebra, and it is proved that both coincide in significant cases. Special attention is paid to the zero dimensional case, where a characterization of these semigroups can be given in terms of density conditions of some privileged elements. Finally, the notion of nowhere scattered C*-algebras is introduced, and it is shown that it is a very broad class, including all infinite-dimensional simple algebras. Various characterizations of this concept are given, including a description in terms of divisibility properties of the Cuntz semigroup. This notion is intimately linked to the so-called Global Glimm Problem, which is also analyzed in the thesis, giving a reformulation through conditions of the Cuntz semigroup.