Advanced numerical techniques for inverse problems in geophysics

Abstract

This thesis presents an efficient methodology to couple Model Order Reduction techniques within the framework of geophysical probabilistic inversion problems. Accurate models of the interaction between Earth inner processes and surface features are essential to make reliable predictions of the observables which are a fundamental part of Bayesian inference. Markov Chain Monte Carlo (MCMC) methods have become standard in dealing with probabilistic inversions and they rely on sampling strategies that require solving forward problems many times. Computationally expensive large-scale forward problems are the principal bottleneck that can limit the capabilities and potential of multi-observable geophysical probabilistic inversions. In particular, dynamical effects arising from the sub-lithospheric mantle flow are not usually taken into account in the estimation of surface elevation due to the high computational cost of the associated 3D Stokes flow problem.

The main idea of this thesis is to use the Reduced Basis (RB) method as a surrogate of the true forward problem (3D Stokes flow) to provide fast and accurate approximations. The surrogate is then used to generate samples of the posterior distribution at a much lower computational cost. RB strategies are based on expressing the solution of a problem in a low dimensional space, i.e. a reduced basis. Taking advantage of the convergence nature of the MCMC, we propose a greedy strategy that builds the reduced basis on the fly and as required by the inverse problem. In doing so, the basis is specifically tailored to the posterior features of the problem. In addition, to guarantee an accurate surrogate we define a goal-oriented error estimator which focuses on a particular Quantity of Interest of the problem and, therefore, it guides the basis to achieve the required accuracy in such particular features. All this translates into a problem-shaped basis that is more compact and smaller than if it had to be accurate everywhere in the domain. Moreover, to deal with the costly assembly of matrices, we use the specific parametrization of the problem and sampling strategy to define an assembly procedure that efficiently updates the matrices only with the contribution of the elements that changed between successive inversion steps.

The benefits and limitations of the method are illustrated through several numerical examples. Finally, to demonstrate the applicability of the method two more realistic inverse problems are presented. The first one uses dynamic topography to infer the Lithosphere-Asthenosphere Boundary depth of a spherical domain representing a portion of Earth and the second one is applied to a larger problem in which the African lithospheric structure is discretized in 1225 inversion parameters.

Aquesta tesi introdueix una metodologia eficient per acoblar tècniques de Reducció d’Ordre del Model dins el marc de problemes d’inversió probabilística en geofísica. Disposar de models precisos sobre la interacció entre els processos interns de la Terra i les característiques superficials és essencial per tal de fer prediccions fiables dels observables, ja que aquests són una part fonamental de la inferència Bayesiana. Els mètodes de Markov Chain Monte Carlo (MCMC) s’han convertit en un estàndard per tractar amb inversions probabilístiques i es basen en estratègies de mostreig que requereixen solucionar molts problemes directes moltes vegades. L’elevat cost computacional dels problemes directes a gran escala és el principal coll d’ampolla que pot limitar les capacitats i potencial de les inversions probabilístiques multi-observables en geofísica. En concret, els efectes dinàmics provinents del flux del mantell sub-litosfèric no es solen tenir en compte per a l’estimació de l’elevació de la superfície degut a l’elevat cost computacional derivat de resoldre el problema associat de flux de Stokes en 3D. La idea principal d’aquesta tesi es fer servir el mètode de la Base Reduida (RB) com a substitut del problema directe real (flux 3D Stokes) per tal d’obtenir aproximacions ràpides i precises. El substitut es fa servir per generar mostres de la distribució posterior amb un cost computacional molt inferior. Les estratègies RB es basen en expressar la solució d’un problema en un espai de baixa dimensió, i.e. una base reduïda. Aprofitant la naturalesa convergent del MCMC, proposem una estratègia “greedy” que construeix la base sobre la marxa i segons ho requereixi el problema invers. D’aquesta forma, la base està feta a mida per adaptar-se a les característiques posteriors del problema. A més, per tal de garantir la precisió del substitut, definim un estimador d’error “goal-oriented” que es centra en una Quantitat d’Interès específica del problema i, per tant, guia a la base per tal d’aconseguir la precisió necessària en aquelles característiques en particular. Tot això es tradueix en una base adaptada al problema que es més compacta i petita que si hagués de ser precisa en tot el domini. A més, per tal d’afrontar el car assemblatge de les matrius, utilitzem la parametrització del problema i l’estratègia de mostreig per definir una estratègia d’assemblatge que actualitza eficientment les matrius només amb la contribució d’aquells elements que han canviat entre passos successius de la inversió. Els beneficis i limitacions del mètode s’il·lustren a traves de varis exemples numèrics. Finalment, per demostrar l’aplicabilitat del mètode, es presenten dues inversions de problemes més realistes. El primer fa servir la topografia dinàmica per a obtenir la profunditat del límit Litosfera-Astenosfera en un domini esfèric que representa una part de la Terra i el segon s’aplica a un problema més gran en que l’estructura litosfèrica d’Àfrica està discretitzada en 1225 paràmetres.