Correspondencias de carácteres de grupos finitos

Abstract

Uno de los problemas fundamentales de la Teoría de Caracteres es la Conjetura de McKay. La Conjetura de McKay afirma que si G un grupo finito, p un primo, y P un p-subgrupo de Sylow de G, entonces existe una biyección entre el conjunto $Irr_{p'}(G)$ de los caracteres complejos irreducibles de G de grado no divisible por p y el conjunto $Irr_{p'}(N)$, donde N es el normalizador de P en G.

En general, no se conocen correspondencias canónicas entre estos dos conjuntos, incluso cuando G es resoluble.

Sin embargo, bajo ciertas condiciones, sí se han encontrado correspondencias canónicas. En concreto, se han encontrado correspondencias canónicas entre estos dos conjuntos bajo las siguientes hipótesis:

(1) G es resoluble y |G:N| es impar (M. Isaacs, 1973). (2) G es p-resoluble y N=P (G. Navarro, 2003). (3) G es resoluble y |N| es impar (A. Turull, 2008).

Nuestros dos principales teoremas de la tesis son extender los casos (2) y (3) bajo hipótesis más generales; en concreto, cuando G es p-resoluble (sin exigir que N sea igual a P), y cuando G resoluble (sin exigir ninguna condición adicional sobre |G:N| o |N|).

Sea $\Phi_{1_{G^0}}$ el carácter proyectivo indescomponible principal de G (respecto del primo p). Denotamos por $Irr_{p'}(\Phi_{1_{G^0}})$ al conjunto de constituyentes irreducibles del carácter proyectivo indescomponible principal de G de grado no divisible por p. Demostramos que el siguiente teorema es cierto.

TEOREMA A Sea G un grupo finito p-resoluble, P un p-subgrupo de Sylow de G, y N el normalizador de P en G. Entonces, existe una biyección canónica $\Gamma$ de $Irr_{p'}(\Phi_{1_{G^0}})$ a $Irr_{p'}(\Phi_{1_{N^0}})$, tal que si $\chi$ es un carácter en $Irr_{p'}(\Phi_{1_{G^0}})$, entonces $\Gamma(\chi)$ es el único constituyente irreducible de la restricción de $\chi$ a N que tiene grado no divisible por p

Esta nueva biyección $\Gamma$ coincide exactamente con la biyección de Navarro cuando N=P, y cumple una serie de propiedades.

Consideramos ahora el conjunto $IBr_{2'}(G)$ de caracteres de p-Brauer irreducibles de G de grado impar. Demostramos el siguiente resultado:

TEOREMA D Sea G un grupo finito resoluble, P un p-subgrupo de Sylow de G, y N el normalizador de P en G. Entonces existe una biyección canónica entre $IBr_{2'}(G)$ y $IBr_{2'}(N)$.

Esta biyección también cumple una serie de propiedades (que no enunciaremos aquí).

One of the fundamental problems in Character Theory is the McKay Conjecture. The McKay Conjecture asserts that if G is a finite group, p is a prime and P is a Sylow p-subgroup of G, then there exists a bijection between the set $Irr_{p'}(G)$ of the irreducible complex characters of G of degree not divisible by p and the set $Irr_{p'}(N)$, where N is the normalizer of P in G.

In general, no canonical correspondences between these two sets are known, even when G is solvable.

However, under certain conditions, canonical correspondences have been found. Specifically, canonical correspondences between these two sets have been found under the following hypotheses:

(1) G is solvable and |G:N| is odd (M. Isaacs, 1973). (2) G is p-solvable and N=P (G. Navarro, 2003). (3) G is solvable and |N| is odd (A. Turull, 2008).

The two main theorems of this thesis manage to extend the cases (2) and (3) under more general hypotheses; specifically, when G is p-solvable (without requiring N to be equal to P), and when G is solvable (with no additional hypotheses on |G:N| or |N|).