The first stability eigenvalue for compact constant mean curvature surfaces= El primer valor propio del operador de estabilidad para superficies compactas con corvatura media constante

Author

Ortiz Sánchez, Irene

Director

Alías Linares, Luis José

Meroño Bayo, Miguel Ángel

Date of defense

2016-12-16

Pages

114 p.



Department/Institute

Universidad de Murcia. Departamento de Matemáticas

Abstract

Objetivos de la tesis El principal objetivo de la tesis consiste en obtener cotas superiores óptimas para el primer valor propio del operador de Jacobi para superficies compactas y orientables con curvatura media constante en diferentes espacios ambiente: espacios homogéneos, sumersiones de Killing y productos warped. También se buscan las superficies, si existen, que alcanzan la cota óptima. Se pretende profundizar además en el estudio de la geometría de los mencionados espacios ambiente, así como posibles problemas derivados relacionados con la estabilidad de las superficies. - Metodología para la realización de la tesis La metodología es la propia de cualquier trabajo de investigación básica en matemáticas. Estudio bibliográfico del tema objeto de la tesis. Una vez conocida bien la bibliografía, estudio y comprensión de los diferentes artículos publicados que determinan la base de dicho tema. Estudio, al mismo tiempo, de las herramientas y técnicas necesarias para la comprensión de los diferentes trabajos. Estancias de formación con la finalidad de debatir con expertos en la materia y ampliar conocimientos aprovechando su experiencia, asistencia a cursos específicos y a diferentes congresos, principalmente internacionales, con participación activa en los mismos. Estudio del problema utilizando todo el material estudiado y aprendido, reflejando los avances en artículos de investigación a publicar en revistas internacionales de reconocido prestigio. Participación activa en el seminario de geometría que se viene realizando en el grupo de investigación al que pertenezco donde se exponen los avances y problemas encontrados. Discusión a diario de los problemas y avances con los directores de la tesis. - Resultados o conclusiones de la tesis Con la finalidad expuesta en los objetivos, el primer avance destacable es la obtención de dos cotas superiores generales para superficies compactas y orientables de curvatura media constante en variedades riemannianas de dimensión 3 arbitrarias. Así, posteriormente, particularizamos tales cotas a los casos en que el ambiente es un espacio homogéneo, una sumersión de Killing o un producto torcido. En concreto, para el caso de espacios homogéneos 3-dimensionales con grupo de isometrías de dimensión 6 o 4 además de dar cotas para el primer valor propio del operador de estabilidad, también se consiguen caracterizar algunas superficies por medio precisamente de dicho valor propio. Por ejemplo, se consigue una caracterización de los toros de Hopf en ciertas esferas de Berger. Tras el estudio de los espacios homogéneos con grupo de isometrías de dimensión 4, es razonable plantearse extender los resultados obtenidos al caso de sumersiones de Killing riemannianas. Estos ambientes son aún bastante desconocidos y por ello, por una parte nos concentramos en la comprensión de su geometría, dando algunas fórmulas generales, y por otra parte nos dedicamos a nuestro problema planteado, es decir, la obtención de estimaciones para el mencionado valor propio. Como resultados destacables, cabe decir que a través de las cotas obtenidas somos capaces de caracterizar tanto superficies horizontales como toros de Hopf y, como consecuencia, se derivan también resultados que nos dan restricciones sobre la curvatura media de superficies compactas y orientables de curvatura media constante que además sean estables. Por último, nos planteamos el problema de dar cotas para el caso en el que el ambiente es un producto warped. En estos espacios trabajamos con una condición de convergencia que resulta muy natural y está muy justificada en la literatura. Además, se imponen en ocasiones ciertas condiciones naturales como que la función warping sea solución de la ecuación de Jacobi o sea cóncava. En estos casos conseguimos caracterizaciones completas de las superficies estables. Por todo ello, pensamos que la tesis contribuye al estudio de las superficies de curvatura media constante en diferentes ambientes 3-dimensionales, siendo éste un tema que se enmarca entre la geometría diferencial y el análisis geométrico. De hecho, nuestra contribución ha sido publicada en 4 artículos de investigación en diferentes revistas internacionales y un capítulo de libro, tal y como se puede ver en las referencias ([AMO], [MO1]-[MO4]) de la memoria que se presenta.


Objectives of the thesis The main aim of the thesis consists of obtaining upper bounds for the first eigenvalue of the Jacobi operator for compact surfaces of constant mean curvature into different ambient spaces: homogeneous spaces, Riemannian Killing submersions and warped products. Moreover, we also intend to deep into the geometry of the aforementioned ambient spaces, and we derive some results related to the stability of these surfaces. - Research methodology The methodology followed in preparing this thesis is the standard one in any research work in mathematics. A bibliographic review of the field of the thesis. Once we have known the literature, study and comprehension of the different published papers which determine the base of such a topic. The study, at the same time, of the useful tools and techniques in order to understand different works. Research stays with the end of discussing with experts of this subject, attendance to specific courses and conferences. Study of the problem by using the studied material, reflecting progresses in research papers to publish in international journals. Active participation in the geometry seminar which carries out in the research group in which I am included. In this seminar, we expose our results and problems. Daily discussions of the problems and progresses with the advisors of the thesis. - Results or conclusions of the thesis For the previously stated purpose, the first remarkable progress is that we find two general upper bounds for compact, two-sided surfaces of constant mean curvature in arbitrary 3-dimensional Riemannian manifolds. So, later on, we particularize such bounds to the case in which the ambient manifold is a homogeneous space, a Killing submersion or a warped product. Specifically, for the homogeneous 3-manifolds with isometry group of dimension 6 or 4, we give upper bounds for the first stability eigenvalue, but also we achieve to characterize some surfaces by means of this eigenvalue. For instance, we get a characterization of Hopf tori into certain Berger spheres. After studying homogeneous spaces with isometry group of dimension 4, it is natural to think of extending the obtained results to the case of Riemannian Killing submersions. These ambients are rather unknown, and for this reason, on the one hand we focus on the study of their geometry, giving some general formulae, and on the other hand we devote to our problem, that is, we find out estimates for the aforementioned eigenvalue. As remarkable results, it is important to emphasize that by using our bounds we are able to characterize both horizontal surfaces and Hopf tori. As a consequence, some restrictions over the mean curvature of compact, two-sided surfaces of constant mean curvature are derived when we assume that they are stable. To finish, we think about the same problem in the case in which the ambient is a warped product. In these spaces, we are going to work with a very natural convergence condition. Moreover, we impose certain conditions over the warping function such as being a solution of the Jacobi equation or a concave function. For these cases, we get complete characterizations of stable surfaces. Consequently, we believe that this thesis contributes to the study of constant mean curvature surfaces in different 3-dimensional manifolds, being this topic between the differential geometry and the geometric analysis. In fact, our contribution has been published in four research papers in international journals and a chapter of a book as it is shown in the references ([AMO], [MO1]-[MO4]) of the presented thesis.

Keywords

Superficies de curvatura constante; Geometría diferencial

Subjects

5 - Natural Sciences; 51 - Mathematics; 514 - Geometry

Knowledge Area

Ciencias

Documents

TIOS.pdf

2.267Mb

 

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