Contributions to the study of Cartier algebras and local cohomology modules

Abstract

This dissertation is devoted to the study of Cartier algebras and local cohomology modules; more precisely, we show that the Cartier algebra of a complete Stanley-Reisner ring R can only be either principally generated or infinitely generated as R-algebra, and that such issue just depends on the primary decomposition of the corresponding Stanley-Reisner ideal. Secondly, we provide an algorithm in order to calculate all the ideals which are fixed with respect to the action of any principally generated Cartier subalgebra of the Cartier algebra associated to the polynomial ring Z/pZ[x(1),…, x(d)], where p is a prime number. Finally, we produce spectral sequences which recover and extend the Mayer-Vietoris spectral sequence of local cohomology modules established in full generality by G. Lyubeznik; moreover, we find conditions in order to ensure when these spectral sequences degenerate at their second page and, in such case, we study their attached extension problems.

Aquesta tesi està dedicada a l’estudi de les àlgebres de Cartier i els mòduls de cohomologia local. Més concretament, es prova que l’àlgebra de Cartier d’un anell complet d’Stanley-Reisner R només pot ser principalment generada o infinitament generada com R-àlgebra, i que aquest fet tot just depèn de la descomposició primària del corresponent ideal d’Stanley-Reisner. En segon lloc, es proporciona un algoritme per calcular tots els ideals que són fixos respecte de l’acció de qualsevol subàlgebra de Cartier principalment generada de l’àlgebra de Cartier associada a l’anell de polinomis Z/pZ[x(1),…, x(d)], on "p" denota un nombre primer. Finalment, es produeixen successions espectrals que recuperen i estenen la successió espectral de Mayer-Vietoris de mòduls de cohomologia local obtinguda en completa generalitat per G. Lyubeznik; a més, es donen condicions per tal de determinar quan aquestes successions degeneren a la segona pàgina i, en tal cas, s’estudien els problemes d’extensió corresponents.