2024-03-28T17:49:40Zhttps://www.tdx.cat/oai/requestoai:www.tdx.cat:10803/3927132017-09-21T07:46:12Zcom_10803_120col_10803_123
TDX (Tesis Doctorals en Xarxa)
author
Rojas Pérez, David
authoremail
rojas@mat.uab.cat
authoremailshow
true
director
Mañosas Capellades, Francesc
director
Villadelprat Yagüe, Jordi
authorsendemail
true
2016-09-10T06:35:23Z
2016-09-10T06:35:23Z
2016-07-11
9788449064760
http://hdl.handle.net/10803/392713
El principal interès d’aquesta memòria pertany al marc de la teoria
qualitativa d’equacions diferencials.
El nostre objecte d’estudi són famílies de sistemes de centres al pla.
Introduïm les nocions d’òrbita periòdica crítica i criticalitat, que són les nocions homòlogues
a cicle límit i ciclicitat en el marc del Problema setzè de Hilbert, respectivament.
El nostre interès és estudiar la bifurcació d’òrbites
periòdiques crítiques des de la frontera exterior de l’anell de períodes.
D’acord amb la noció de criticalitat, estudiem el nombre d’òrbites periòdiques
crítiques d’un centre continu que poden emergir o desaparèixer des de la frontera
exterior quan movem el paràmetre. Més concretament, treballem amb famílies contínues
de sistemes potencials analítics al pla.
Les eines que desenvolupem permeten abordar el problema en les dues següents
situacions: o bé l’energia de la frontera exterior és infinita o bé és finita,
per tots els paràmetres en consideració.
En aquestes situacions, donem condicions suficients per tal que la criticalitat
a la frontera exterior de l’anell de períodes sigui menor o igual que n.
La principal idea en ambdós casos és trobar funcions analítiques que
satisfan que podem incloure la derivada de la funció de període en un
sistema ECT. Això implica en particular que la derivada de la funció de
període té com a molt n zeros prop de la frontera exterior i, en conseqüència,
la criticalitat està acotada per n.
En relació amb això, dediquem el Capítol 1 al desenvolupament de eines
analítiques per abordar el problema. Les tècniques en aquest capítol
tracten amb el comportament asimptòtic a l’infinit d’una funció Wronskià.
Al Capítol 2 desenvolupem els criteris abans mencionats. Finalment, el
nostre camp de proves és la família dos-paramètrica de sistemes potencials
donada per \dot{x}=-y, \dot{y}=(1+x)^p-(1+x)^q.
La funció de període d’aquesta família va ser estudiada prèviament per
Miyamoto i Yagasaki, que van provar que la funció és monòtona quan
q=1 i p>;1. Al Capítol 3 millorem aquest resultat juntament amb altres resultats
sobre la bifurcació d’òrbites periòdiques crítiques des del centre,
des de l’interior quan pertorbem centres isòcrons, i des de la frontera
exterior de l’anell de períodes. La combinació de tots aquests resultats
ens permeten proposar una conjectura sobre el diagrama de bifurcació sobre el
comportament global de la funció de període del sistema que considerem.The main interest of this memoir is contained in the framework
of the qualitative theory of differential equations.
Our objects of study are families of systems of centers in the plane.
We introduce the notions of critical periodic orbit
and criticality, which are the counterparts of the notions of
limit cycle and cyclicity in the framework of the Hilbert’s sixteenth
problem, respectively.
Our main interest in this memoir is to study the bifurcation of critical
periodic orbits from the outer boundary of the period annulus.
According with the notion of criticality, we shall study the number of
critical periodic orbits of a continuous center that can emerge or disappear
from the outer boundary of the period annulus as we move slightly
the parameter. More concretely, we are concerned with continuous families
of planar analytic potential systems that have a non-degenerated center
at the origin. The tools we develop allow to tackle the problem in the
following two situations: either the energy at the outer boundary is
infinite or finite for all the parameters.
In these situations, we give sufficient conditions in order that the
criticality at the outer boundary of the period annulus is less or equal
than n. The main idea in both cases is to find some analytic functions
verifying that we can embed the derivative of the period function into an
ECT-system. This implies in particular
that the derivative of the period function has at most n zeros near the energy
at the outer boundary and, accordingly, the criticality is bounded by n.
In this regard we dedicate Chapter 1 to the development of some analytic
tools with this aim in view. The techniques developed in this chapter are
concerned with the asymptotic behaviour at infinity of a Wronskian function.
In Chapter 2 we develop the criteria introduced above. Finally, our testing
ground in this memoir is the two-parametric family of potential differential
systems given by \dot{x}=-y, \dot{y}=(1+x)^p-(1+x)^q.
The period function associated to the system above was previously studied
by Miyamoto and Yagasaki, who prove that the period function is monotonous when
q=1 and p>1. In Chapter 3 we improve this result together with some other
results concerning the bifurcation of critical periodic orbits from the center,
from the interior when we perturb isochronous centers, and from the
outer boundary of the period annulus. The combination of all these results
will lead us to propose a conjectural bifurcation diagram for the global
behaviour of the period function of the system under consideration.
eng
Centre
Centro
Center
Bifurcació
Bifurcación
Bifurcation
Funció de període
Función de período
Period function
Analytical tools to study the criticality at the outer boundary of potential centers
info:eu-repo/semantics/doctoralThesis info:eu-repo/semantics/publishedVersion
URL
https://www.tdx.cat/bitstream/10803/392713/1/drp1de1.pdf
File
MD5
f158010545f69e7164a890183fb07f39
1775464
application/pdf
drp1de1.pdf
URL
https://www.tdx.cat/bitstream/10803/392713/5/drp1de1.pdf.txt
File
MD5
d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e
0
text/plain
drp1de1.pdf.txt