Herramientas para la no linealidad

Abstract

El interés de los investigadores de la ciencia económica por la teoría del caos comenzó en la década de los 80 y una de la razones del mismo es el comportamiento aparentemente aleatorio de sistemas dinámicos no lineales simples y con pocos grados de libertad. Conocer esta especial dinámica a partir de series temporales obtenidas de estos sistemas dinámicos es lo que nos ha llevado a realizar esta Memoria, donde se estudian herramientas utilizadas en el análisis de sistemas dinámicos no lineales. La Memoria está estructurada en 5 capítulos, el primero es una introducción donde se incluyen generalidades sobre sistemas dinámicos discretos y una panorámica general de los distintos aspectos que se van a tratar en la misma. El segundo capítulo está dedicado a la teoría del embedding donde el teorema de Takens supone una de las justificaciones teóricas que permite construir una órbita de un sistema dinámico determinista desconocido a partir de una serie temporal de medidas obtenida de una órbita del mismo. Un teorema previo al de Takens, y básico en la demostración de éste, es el Teorema de Whitney. En este capítulo se dan dos nuevas demostraciones del Teorema de Whitney y se demuestra una extensión del teorema de Takens (resultado publicado en Acta Mathematica Hungarica, 88(4)). En el Capítulo 3 se profundiza en las implicaciones del signo del exponente de Lyapunov de un sistema dinámico unidimensional y se obtiene un resultado que complementa el dado por Koçak y Palmer (2010), así como nuevos ejemplos de sistemas dinámicos unidimensionales y bidimensionales con el comportamiento paradójico de los sistemas dinámicos mostrados en Demir y Koçak (2001) (resultados publicados en International Journal of Bifurcation and Chaos, 23). El Capítulo 4 está dedicado a los gráficos de recurrencia que son una herramienta que permite visualizar el concepto de correlación integral de un conjunto (entre otros). En las últimas décadas este tipo de gráficos, y en particular las medidas definidas sobre ellos, se han utilizado en el análisis de series temporales económicas, siendo uno de sus principales objetivos encontrar los puntos de cambio del comportamiento dinámico del modelo generador de datos. En este capítulo se utilizan las medidas cuantitativas definidas sobre estos gráficos con una serie no estacionaria obtenida del sistema dinámico de Liu para aproximarnos a sus puntos de bifurcación (resultado en Chaos, Solitons and Fractals, 36(3)). Un contraste no paramétrico de independencia se desarrolla en el Capítulo 5 y resulta de aplicar el principal teorema, que demostramos, sobre la distribución asintótica de una transformación lineal del estadístico que estima la correlación integral simbólica de una serie independiente e idénticamente distribuida. El concepto de correlación integral simbólica se define para cualquier conjunto compacto de un espacio vectorial m-dimensional y está basado en su simbolización, que consiste en asignar a cada elemento la permutación del conjunto {1,2,...,m} que representa el orden de sus componentes. Para este contraste, cuya hipótesis nula es que la serie sea independiente e idénticamente distribuida frente a cualquier dependencia, se ha estudiado el tamaño del test y su potencia. Los resultados obtenidos muestran un buen comportamiento del estadístico utilizado. Se finaliza el capítulo definiendo gráfico de recurrencia simbólico y simbólico coloreado y se calculando distintas medidas sobre los mismos. La última sección de cada capítulo se dedica a las conclusiones sobre los resultados obtenidos y las cuestiones que han quedado abiertas y que intentaremos cerrar en próximos trabajos.

The interest of economists in chaos theory started in the 1980s. One of the reasons is the apparently random behavior of simple nonlinear dynamical systems with few degrees of freedom. The knowledge of this particular behavior from time series obtained from these dynamical systems has motivated us to study some of the tools used in the analysis of nonlinear dynamical systems. The thesis is divided into five chapters. The first is the introduction which includes an overview of discrete dynamical systems and outlines the contents of the following chapters. The second chapter is devoted to the embedding theory, where a Takens theorem is one of the theoretical justifications that allows us to construct an orbit of an unknown deterministic dynamical systems from a time series of measurements obtained from this system. The Whitney theorem is fundamental in the proof of the Takens theorem. In this chapter we provide two new proofs of the Whitney theorem and an extension of the Takens theorem (results published in Acta Mathematica Hungarica, 88 (4)). In chapter 3 we examine in depth the implications of the sign of the Lyapunov exponent of an orbit of a one-dimensional dynamical system and we prove a result that complements another given by Koçak and Palmer (2010) as well as new examples of one-dimensional and two-dimensional dynamical systems having the paradoxical behavior of dynamical systems shown by Demir and Koçak (2001) (results published in the International Journal of Bifurcation and Chaos, 23). The chapter 4 is devoted to Recurrence Plots. These graphics are a tool for visualizing the correlation integral of a vectorial time series. In recent decades recurrence plots and the measures defined on them have been used to analyze economic time series, where the main objective is to approach the shift points of the dynamic behavior of the process generator of data. In this chapter we use the recurrence quantitative analysis with a non-stationary time series obtained from Liu's dynamical system to approach Liu bifurcation points (results in Chaos, Solitons and Fractals, 36 (3)). A nonparametric test of independence is developed in Chapter 5. This test is the result of applying the main theorem that we show to the asymptotic distribution of a linear transformation of the statistic that estimates the symbolic correlation integral of an embedded independent and identically distributed series. The concept of symbolic correlation integral is also defined for any compact set of a m-dimensional vectorial space, and is based on its symbolization, that is, assign to each element a permutation of the set {1,2, ..., m}, which represents the order of its components. For this test the null hypothesis is that the time series is independent and identically distributed against any type of dependence in the time series. We studied the size and power of this test and the results show good statistical properties. The chapter ends defining symbolic recurrence plots and colored symbolic recurrence plots and we have calculate measures on them. Each chapter ends with a conclusions section on the results proven and questions that remain open, which we will seek to close in futur works.