Diffusion through non-transverse heteroclinic chains : a long-time instability for the NLS

Abstract

En l'article [CKSTT] els autors proven una inestabilitat global per a l'equació de Schrödinger cúbica desenfocant en el tor 2-dimensional. Per aconseguir-ho, detecten un sistema finit d'equacions diferencials ordinàries, l'anomenat Toy Model System, per al quan proven un resultat que típicament s'anomena de difusió: la connexió de N objectes invariants connectats entre ells mitjançant òrbites heteroclíniques. El que no esmenten és que la intersecció entre les varietats invariants de dos objectes consecutius no és transversal. Això fa descartar, pràcticament, que el mecanisme de difusió sigui regit per la coneguda difusió d'Arnold i, per tant, no hi ha una explicació geomètrica del motiu pel qual aquests objectes invariants poden ser connectats. L'objectiu principal de la tesi és proposar un mecanisme geomètric que justifiqui el fet que aquesta difusió és possible. En el Capítol 2 evidenciem que la intersecció entre les esmentades varietats no és transversal en el Toy Model System i mostrem, mitjançant exemples, que aquesta falta de transversalitat pot impedir la connexió en una cadena de transició. Un cop vist que la connexió pot no ser possible si la intersecció no és transversal, detectem el motiu per al qual sí que és possible en el cas del Toy Model System. La raó és l'alta dimensió del problema i que cada nova connexió pren lloc en un espai nou, en unes direccions que encara no s'han utilitzat. D'altra banda es troben exemples integrables per als quals aquesta difusió és possible, allunyant-nos del tot de la difusió d'Arnold, típica per a sistemes no integrables. En el mateix capítol es proposa un esquema de detecció per aquest tipus de difusió mitjançant el llenguatge dels h-sets i les relacions de cobriment, de manera que s'estableix una prova que justifica la connexió sempre i quan es provin abans certes relacions de cobriment. Mitjançant aquest esquema de detecció, en el Capítol 3 es prova la connexió en el cas del Toy Model System. Durant la prova, aconseguim millorar el Teorema original de difusió de [CKSTT] permetent apropar-nos arbitràriament a la cadena d'heteroclíniques i, en particular, als objectes invariants. De la prova, també en destaquem l'ús de tècniques típiques dels Sistemes Dinàmics que permeten entendre millor l'esquema de connexió, respecte la prova original. [CKSTT]: J. Colliander, M. Keel, G. Staffilani, H. Takaoka, and T. Tao. Transfer of energy to high frequencies in the cubic defocusing nonlinear Schrödinger equation. Invent. Math., 181(1):39-113, 2010.

In [CKSTT], the authors prove a global instability in the cubic defocusing nonlinear Schrödinger equation defined in the 2-dimensional torus. To obtain so, they detect a finite system of ordinary differential equations, the so-called Toy Model System, for which they prove, as it is typically called, a diffusion result: the connection of N invariant objects connected through heteroclinic orbits. What is not mentioned there is that the intersection between the invariant manifolds of two consecutive invariant objects is not transverse. With this fact we can almost discard that the mechanism for diffusion relies on the socalled Arnold diffusion so, then, there is no geometric explanation of why the invariant objects can be connected. The main goal of this thesis is to propose a geometric mechanism that justifies the fact that this diffusion is possible. In Chapter 2 we prove that, indeed, the intersection between the above mentioned invariant manifolds is not transverse in the Toy Model System and we show through examples that the lack of transversality can forbid the connection in a transition chain. Once we have seen that the connection could not be possible if the intersection is non-transverse, we detect the reason why it is possible in the Toy Model System. The main reason is the high dimension of the system and the fact that each new connection takes place in a new space, in some directions that have not been used before. In addition we present an integrable example for which the diffusion is feasible, totally discarding, then, the Arnold diffusion as a mechanism since it is typical for non integrable systems. In the same chapter, a scheme of detection for this new kind of diffusion is proposed through the language of h-sets and covering relations. A proof that justifies the connection if some covering relations hold is established. Through this scheme of detection, in Chapter 3 we prove the connection in the Toy Model System. We can also improve the original result of diffusion of [CKSTT]. Our result allows us to get arbitrarily close to the heteroclinic chain and, in particular, to the invariant objects for a larger diffusing time. We also highlight the use of typical Dynamical Systems tools that make the argument of connection more understandable with respect to the original proof. [CKSTT]: J. Colliander, M. Keel, G. Staffilani, H. Takaoka, and T. Tao. Transfer of energy to high frequencies in the cubic defocusing nonlinear Schrödinger equation. Invent. Math., 181(1):39-113, 2010.