Equacions diferencials estocàstiques dirigides per un moviment Brownià fraccionari

Abstract

En aquesta memòria presentem tres treballs dedicats a l'estudi d'equacions diferencials estocàstiques dirigides per un moviment Bromnià fraccionari.<br/><br/>La primera equació diferencial estocàstica que estudiarem és una equació amb retard i amb restriccions de positivitat. Com que el retard (R) és en aquest cas un valor positiu, hem de donar com a condició inicial la solució de l'equació a l'interval [-r; 0], que serà X(t) = ni(t), on la funció "mi" serà una funció determinista no negativa. El terme Y és el que ens permetrà assegurar que la solució de l'equació sigui sempre positiva.<br/><br/>La metodologia utilitzada per provar els resultats per a aquesta equaciói per a la següent que presentarem és similar, encara que amb dificultats tècniques diferents. Considerem equacions deterministes i demostrem els resultats per aquest tipus d'equacions. Llavors com que entenem la integral estocàstica que apareix com una integral de Riemann-Stieltjes és fàcil aplicar els resultats obtinguts a les nostres equacions diferencials estocà tiques. Es tracta de la metodologia utilitzada per Nualart i R&#259;&#351;canu a [3].<br/><br/>La segona equació que treballarem és una equació diferencial estocàstica de Volterra a R(d). Per aquesta equació demostrarem l'existència i la unicitat de solució, i provarem que la solució té moments finits. Observem que els nostres resultats inclouen com a cas particular els resultats obtinguts per Nualart i R&#259;&#351;canu a [3].<br/><br/>L'interès d'aquesta part recau en l'obtenció d'estimacions per a les integrals de Lebesgue i Riemann-Stieltjes. Amb aquestes estimacions, obtenim les mateixes cotes que les de [3], i la demostració de l'existència i unicitat s'aconsegueix seguint els mateixos passos que fan Nualart<br/>i Rascanu per la seva equació.<br/><br/>Finalment, l'últim treball fa referència a l'estudi d'aquesta equació diferencial d-dimensional dx(t )= f(x(t))dy(t) on la funció de control y no és diferenciable però és B-Holder contínua. Una manera d'estudiar aquestes equacions si la funci_o de control és B-Holder contínua d'ordre B>1/2 , és la desenvolupada per Nualart i R&#259;&#351;canu a [3]. Aquest mètode ha sigut estès en un treball recent de Hu i Nualart [2] pel cas que B pertanguès a (1/3, ½). <br/><br/>El propòsit del nostre treball és obtenir estimacions precises per a la norma del suprem per a la soluci_o de l'equació utilitzant la metodologia introduïda a [2]. Com a aplicació d'aquests resultats, deduïrem l'existència de moments per a les solucions d'equacions diferencials estocàstiques dirigides per un moviment Brownià fraccionari amb paràmetre de Hurst H pertany a (1/3, ½).<br/><br/>Obtindrem, finalment, una estimació per la norma del suprem de la derivada de Malliavin de la solució de l'equació anterior. Aquests resultats generalitzen el treball de Hu i Nualart [1] pel cas H > 1/2.<br/><br/>REFERÈNCIES:<br/><br/>[1] Hu, Y.; Nualart, D. "Differential equations driven by Hölder continuous functions of order greater than ½. Stochastic analysis and applications", 399-413, Abel Symp., 2, Springer, Berlin, 2007.<br/><br/>[2] Hu, Y.; Nualart, D. "Rough path analysis via fractional calculus". Transactions of the American Mathematical Society 361, (2009), 2689-2718.<br/><br/>[3] Nualart, D.; R&#259;&#351;canu, A. "Differential equations driven by fractional Brownian motion". Collect. Math. 53 (2002) 55-81.

<i>"Stochastic Differential Equations driven by a fractional Brownian Motion"<br/><br/>By Mireia Besaló i Mayol<br/><br/>TEXT:<br/><br/>This dissertation is devoted to the presentation of three contributions to the study of differential stochastic equations driven by a fractional Brownian motion.<br/><br/>The first equation we study is an stochastic delay differential equation with reflection and non-negativity constraints. The second equation we work with is an stochastic Volterra equation on R(d). For that equation, like for the first one, we will prove the existence and uniqueness of solution, and we also prove the solution has finite moments. Our results include as a particular case the results obtained by Nualart and R&#259;&#351;canu in [2].<br/><br/>Finally, the last contribution it is about this d-dimensional differential equation dx(t) = f(x(t))dy(t), where the control function "y" is non-differenciable but is B-Hölder continuous. If B>1/2, one way to study these equations is the one used in [2]. That method has been extended by Hu and Nualart [1] to the case B belongs to (1/3, ½)<br/><br/>For that equation we obtain precise estimates of the supremum norm of the solution of the equation. As an application of these results, we deduce the existence of moments and an estimate of the supremum norm of the Malliavin derivative of the solution of stochastic differential equations driven by a fractional Brownian motion with Hurst parameter H belongs to (1/3, ½). <br/><br/>REFERENCES:<br/><br/>[1] Hu, Y.; Nualart, D. "Rough path analysis via fractional calculus". Transactions of the American Mathematical Society 361, (2009), 2689-2718.<br/><br/>[2] Nualart, D.; R&#259;&#351;canu, A. "Differential equations driven by fractional Brownian motion". Collect. Math. 53 (2002) 55-81. </i>