Estudi d'algunes propietats de les martingales contínues amb paràmetre bidimensional

Abstract

Els processos estocàstics amb paràmetre multidimensional, també anomenats camps aleatoris, apareixen en l'estudi estadístic de fenòmens que evolucionen depenent de n variables (n>1). Per exemple, en un flux turbulent con l'atmosfera, la temperatura o la pressió en un punt depèn de les seves tres coordenades i del temps; o bé en agronomia, en prendre mesures sobre un camp; o la propagació d'ones electro-magnètiques a través d'un medi aleatori. <br/><br/>En l'estudi teòric d'aquests processos, les propietats més importants dels processos estocàstics ordinaris que depenen de l'ordre del conjunt d'índexs: la propietat de Markov i el caràcter martingala, es transfereixen amb més o menys dificultat al cas multi-dimensional. Si bé la propietat de martingala s'estén de manera immediata a un procés indexat per un conjunt parcialment ordenat l'estudi de les martingales amb paràmetre multidimensional no cobra vida fins els treballs de Cairoli (1970) i, especialment, els de Wong-Zakai (1974) i Cairoli-Walsh (1975), en els quals la teoria es comença a mostrar madura i amb futur. L'important article de Cairoli-Walsh està motivat per l'estudi dels processos holomorfs, aixó és, processos que, en un cert sentit, tenen derivada respecte del drap brownià. Ara bé, la primera part d'aquest llarg article està dedicada a construir un càlcul estocàstic bidimensional, però no sols respecte al drap brownià, sinó amb martingales afitades en L^. Aleshores defineixen integrals simples, dobles i de línia, i demostren un teorema de Green que relaciona les integrals de línia i de superfície. <br/><br/>A partir d'aquell moment, la teoria avança combinant dos fronts. D'una banda, estendre a dos paràmetres els resultats del cas unidimensional: construir una teoria general de processos, localització, desigualtats de Burkholder, fórmula d'Itô; d'altra banda, analitzar les noves definicions i conceptes que ha fet falta anar introduint: diferents tipus de martingales, distintes variacions quadràtiques,... Justament en aquesta segona línia de recerca s'inscriu aquest treball.