Continuous-discontinuous modelling for quasi-brittle failure: propagating cracks in a regularised bulk

Abstract

A new strategy to describe failure of quasi-brittle materials -concrete, for example- is presented. Traditionally, numerical simulation of quasi-brittle failure has been tackled from two different points of view: damage mechanics and fracture mechanics. The former, which belongs to the family of continuous models, describes fracture as a process of strain localisation and damage growth. The latter, which falls in the family of discontinuous models, explicitly introduces displacement discontinuities. Recently, some new approaches that merge these two classical theories have been devised. Although these combined approaches allow a better characterisation of the whole failure process, there are still some issues that need to be addressed, specially regarding the model switching -from the continuous to the continuous-discontinuous strategy. The goal of this thesis is to present a new contribution in this direction. Our main concern is to properly account for the three main difficulties that emerge when dealing with combined strategies: (1) the pathological mesh-dependence exhibited by local softening models needs to be corrected; (2) the crack-path location has to be determined and (3) the switching from the continuous to the continuous-discontinuous strategy should be done in such a way that the two approaches are energetically equivalent. First, we extend the applicability to a two- and three-dimensional setting of an alternative approach to regularise strain-softening -where non-locality is introduced at the level of displacements rather than some internal variable. To this end, we propose new combined boundary conditions for the regularisation equation (for the smoothed displacement field). As illustrated with different two- and three-dimensional examples, these boundary conditions allow to obtain physical realistic results for the first stages of the failure process. Second, we present a new combined formulation that allows the propagation of cracks through a regularised bulk. To define the crack-path, instead of the classical mechanical criteria, we propose to use a geometrical criterion. More specifically, given a regularised damage field D(x), the discontinuity propagates following the direction dictated by the medial axis of the isoline (or isosurface in 3D) D(x) = D*. That is, a geometric tool widely used for image analysis, computer vision applications or mesh generation purposes is used here to locate cracks. We illustrate the capabilities of this new approach by carrying out different two- and three-dimensional numerical tests. Last, we propose a new criterion to estimate the energy not yet dissipated by the bulk when switching models, so it can be transferred to the cohesive crack. This ensures that the continuous and the continuous-discontinuous strategies are energetically equivalent. Compared to other existing techniques, we present a strategy that accounts for the different unloading branches of damage models thus better estimating the energy that has to be transferred. We illustrate the performance of this technique with one- and two-dimensional examples.

En aquesta tesi, presentem una nova estratègia per tal de descriure el procés de fallida de materials quasi-fràgils, com ara el formigó. Típicament la simulació numèrica d'aquest procés s'ha dut a terme mitjançant models de dany o models de fractura. Els primers |models continus| descriuen la fractura com un procés de localització de deformacions on el dany creix i es propaga. Els models de fractura, en canvi, són models discontinus que introdueixen de manera explícita discontinuïtats en el camp de desplaçaments. Recentment s'han proposat estratègies que combinen aquestes dues teories clàssiques. Tot i que aquestes formulacions alternatives permeten simular millor el procés de fallida, encara queden alguns aspectes per aclarir, especialment pel que fa al canvi de models |de l’estratègia contínua a la discontínua. En aquesta tesi es presenta una nova estratègia contínua-discontínua. El nostre principal objectiu és proposar nous mètodes per tal de resoldre tres de les dificultats que presenten aquests models combinats: (1) solucionar la dependència patològica de la malla d'elements finits que presenten els models locals amb reblaniment; (2) determinar la trajectòria de la fissura i (3) assegurar-se que el canvi de models del continu al discontinu| es fa de manera que les dues estratègies siguin energèticament equivalents. En primer lloc, ampliem l’ús |per tal de poder simular problemes dos i tres dimensionals d'una estratègia alternativa que regularitza el reblaniment de les lleis de tensió-deformació. Aquí la no-localitat s'introdueix a nivell del camp de desplaçaments i no a través d'una variable interna com succeeix en les formulacions estàndards. Per aquest motiu, proposem noves condicions de contorn combinades per l’equació de regularització (pel camp de desplaçaments suavitzat). Tal com s'observa en diferents exemples dos i tres dimensionals, aquestes condicions permeten simular de manera físicament realista les primeres etapes del procés de fallida. En segon lloc, presentem una nova formulació combinada on les fissures es propaguen a través del medi regularitzat. Per tal de definir la trajectòria d'aquestes fissures, utilitzem un criteri geomètric, a diferència dels criteris mecànics clàssics. En particular, sigui D(x) un camp regularitzat de dany, les discontinuats es propaguen seguint la direcció marcada per l'eix mitjà de la isolínia (o isosuperfície mitjana en 3D) D(x) = D_. _Es a dir, utilitzem aquí aquesta eina geomètrica, molt emprada en d'altres aplicacions com ara l’anàlisi d'imatges, la visió artificial o la generació de malles| per tal de propagar les fissures. En aquest cas, donem també exemples dos i tres dimensionals. Finalment, proposem un nou criteri per tal d'estimar l'energia que l'estructura encara no ha dissipat en el moment en que canviem de model, per tal que pugui ser transferida a la fissura cohesiva. D'aquesta manera, s'assegura que l’estratègia contínua i la contínua-discontínua siguin energèticament equivalents. En comparació amb d'altres tècniques, aquesta estratègia té en compte les diferents branques de descàrrega dels models de dany i permet estimar de manera més precisa l'energia que cal transmetre. Per tal de mostrar aquest balanç energètic es duen a terme diferents exemples en una i dues dimensions.