Sobre la conjetura de Zassenhaus y el problema de los subgrupos de congruencia para anillos de grupo con coeficientes enteros= On Zassenhaus conjecture and the congruence subgroup problem for integral group rings

Abstract

Esta Tesis Doctoral está enmarcada dentro del área del Álgebra, concretamente, de los Anillos de Grupo. El objetivo principal de la misma es el estudio del grupo de unidades del anillo de grupo con coeficientes enteros de un grupo finito. El primer trabajo que se conoció sobre este grupo de unidades lo presento Higman en 1940 en su tesis doctoral. Éste describe el grupo de unidades para el anillo de grupo con coeficientes enteros de un grupo abeliano y como consecuencia de este resultado se tiene que las unidades centrales del anillo de grupo con coeficientes enteros no son mas que las triviales. A partir de este momento, muchos autores se interesaron en dicho grupo de unidades. Sobre este grupo de unidades se sabe que es finitamente generado, pero no se conoce un conjunto finito de generadores, y que en muchos casos contiene un subgrupo libre de rango dos. También se ha intentado describir las unidades de orden finito y los subgrupos finitos de este grupo de unidades. Justamente este es el propósito de las tres Conjeturas de Zassenhaus, planteadas por Hans Zassenhaus en los años sesenta. Unos años después se presento un contraejemplo para dos de ellas. Otro punto interesante sobre el grupo de unidades del anillo de grupo con coeficientes enteros de un grupo finito, es conocer sus subgrupos de índice finito. Problemas como el de los subgrupos de congruencia traducidos a este contexto son de gran ayuda para este propósito. En esta Tesis hemos abordado dos problemas clásicos como son la Conjetura de Zassenhaus y el Problema de los Subgrupos de Congruencia para anillos de grupo con coeficientes enteros. Durante la realización de la Tesis doctoral, localizamos y estudiamos en profundidad la bibliografía existente relacionada con nuestro objeto de estudio. Establecimos contacto continuo con expertos en la materia y realice una estancia de tres meses en la Universidad Libre de Bruselas. El fruto de este trabajo se vio reflejado en los artículos “Zassenhaus Conjecture for cyclic-by-abelian groups” el cual esta aceptado en “Journal of the London Mathematical Society” y “On the Congruence Subgroup Problem for integral group rings” el cual esta sometido. La monografía, que consta de una introducción, tres capítulos y las conclusiones, está dividida principalmente en dos partes. Uno de los tópicos centrales es la Conjetura de Zassenhaus. Esta pretende describir las unidades de orden finito del anillo de grupo con coeficientes enteros de un grupo finito. Nuestra aportación principal en este aspecto consiste en probar la Conjetura de Zassenhaus para grupos cíclicos-por-abelianos. El segundo problema que abordamos es el de clasificar los grupos finitos para los cuales el grupo de unidades del anillo de grupo con coeficientes enteros tiene núcleo de congruencia finito. Desafortunadamente en este problema encontramos un gran obstáculo, por lo que dimos una clasificación muy cercana a la planteada originalmente y que resulta de gran utilidad porque nos da mucha información sobre los subgrupos de índice finito del anillo de grupo con coeficientes enteros.

This thesis is placed in the general framework of Algebra, concretely, in Group Rings. The main aim of it is to study the group of units of the integral group ring of a finite group. Higman presented the first work about this group of units in 1940 in his thesis. It describe the group of units of the integral group ring of an abelian group, moreover shows that the central units are exactly the trivial ones. From here, it has attracted the interest of many authors. About the group of units of the integral group ring of a finite group we know that it is finite generated, however a finite set of generators is not known in general, and also it contains in many cases a free subgroup of rank two. On the other hand, many authors have attempted to describe the units of finite order and the finite subgroups of such group of units. This is just the goal of the three Zassenhaus conjectures, posed by Hans Zassenhaus in the 60s. Some years later, a counterexample for two of them appeared. Another interesting point on the group of units of the integral group ring of a finite group is to know its subgroups of finite index. One way to do so is to translate the Congruence Subgroup Problem to the context of integral group rings. In this thesis we have addressed two classical problems, namely Zassenhaus Conjecture and the Congruence Subgroup Problem for integral group rings of a finite group. During the realization of this thesis, we found and study in depth the existing literature concerning our subject. We established contact with experts and I did my stay in “Vrije Universiteit Brussel”. This work has given rise to my two papers “Zassenhaus Conjecture for cyclic-by-abelian groups ” which is accepted in “Journal of the London Mathematical Society” and “On the Congruence Subgroup Problem for integral group rings ” which is submitted. The monograph, consisting of an introduction, three chapters and the conclusions, is divided into two parts. A central topic is the Zassenhaus Conjecture. This tries to describe the units of finite order of the integral group ring of a finite group. Our main contribution consists in proving the Zassenhaus Conjecture for cyclic-by-abelian groups. Later on we deal with the problem of classifying the finite groups for which the group of units of the integral group ring has finite congruence kernel. Unfortunately, in this problem we encountered an obstacle. So we give a classification, which is very close to the original one, and it gives us relevant information on the subgroups of finite index of the group of units of the integral group ring of a finite group.