On inner parallel bodies. From the Steiner polynomial to Poincaré inequality.

Abstract

El objetivo fundamental de este trabajo ha sido el estudio del sistema fundamental de paralelos de un cuerpo convexo (conjunto compacto y convexo) en el espacio euclídeo n-dimensional. Se ha llevado a cabo siguiendo tres líneas diferentes: el estudio del polinomio de Steiner y el polinomio alternado Steiner desde el punto de vista algebraico de sus raíces y la conjetura de Matheron; el estudio de la diferenciabilidad de las quermassintegrales asociadas al cuerpo con respecto al parámetro de definición del sistema completo de paralelos y, por último, el estudio de las quermassintegrales del cuerpo desde el punto de vista analítico proporcionado por la identificación del cuerpo convexo con su función soporte, las propiedades de ésta cuando el cuerpo es suficientemente suave y la desigualdad de Brunn-Minkowski.

The aim of this work consists on studying the full system of parallel bodies of a convex body (compact and convex set) in the n-dimensional Euclidean space. It has been carried out following three different lines of work: the study of the Steiner polynomial and the alternating Steiner polynomial from the algebraic point of view of its roots; the study of the differentiability of the quermassintegrals associated to the convex body with respect to the parameter that defines the full system of parallel bodies and finally, the study of the quermassintegrals from the analytical point of view provided by the identification of a convex body with its support function, the properties of this function when the body is smooth enough and the Brunn-Minkowski inequality