Una Formalització de les construccions geomètriques

Abstract

Geometric constructions have been studied by mathematicians from ancient Greece until now. Although most attention has been given by the ruler and compass, during the last decades interest in this subject has revived, and includes now other instruments such as origami. A global analysis of instruments and the main results about them has led us to introduce a formal language that allows a unified treatement of instruments and their constructions and related theorems. The main concepts of this language are axioms, tools and maps. Tools formalize geometric instruments. A tool has associated axioms, which are the basic processes that can be done with the instrument. We give a formal definition of a construction as a sequence of axioms, which includes all the information that is needed to describe the process that takes place. The language we introduce needs to be systematic, but also flexible and open, so that new instruments and constructions can be included.

Once concepts of a tool and a construction are defined, we establish a classification of tools following two different equivalence relations: geometric equivalence and virtual equivalence. These classifications allow the reformulation of not only known results, like Mohr-Masheroni theorem, but also a proof of new relations between tools.

A map is a geometric and arithmetic object which is a tool plus an initial set of points and curves. Maps have associated layers, where points and curves are created iteratively. Because of the complexity of maps and their layers, we can often say little about them. Their study is related to some problems in computational geometry. For some maps, we are able to study the asymptotic growth of the cardinality of the number of points and curves on each layer. We make a complete characterization of the map of the rusty compass, and give details of points and curves in each layer. We also introduce a classification of the maps, that relates those that have the same set of constructible points. The Poncelet-Steiner theorem can be explained in a very natural way using maps. The language of maps allows us to establish new relations between tools. The classification of maps gives an arithmetic classification of tools. We present new results of arithmetic equivalence, using algebraic concepts such as the degree of an axiom and the signature of a tool.

On the other hand, we study the structure of constructions, and associate them with two types of measures. As the first type of extrinsic measures, we define the level and the virtual level. Levels come from the use of the layers of maps associated with the constructions. Intrinsic measures of a construction are length, weight, order and rank. These measures allow us to give criteria of minimality and optimality of a construction. We calculate these measures for the basic arithmetic and algebraic constructions and deduce relations between different layers from the maps of the ruler and compass, origami and conics.

Throughout the thesis, we illustrate our formalization with several catalogs: a catalog of axioms, which contains the axioms of the most famous instruments, a catalog of tools, where we present the main tools known and the constructions one can do with them, and a catalog of maps, which compiles the results of constructibility, and incorporates some maps associated with new tools, and the corresponding set of constructible points. Finally, we present a catalog of constructions, consisting of around seventy constructions described by the new language that we have introduced, its measures and the proof of their correctness. The digital version of the thesis includes links to interactive animations that can reproduce the steps of the constructions.

L'estudi de les construccions geomètriques és un tema que ha ocupat matemàtics des de la Grècia antiga fins l'actualitat. Tot i que els principals protagonistes han sigut el regle i el compàs, en les darreres dècades, aquest tema s'ha revifat, incloent d'altres instruments de construcció com ara l'origami. Una anàlisi global dels instruments i dels resultats principals sobre ells, ens ha portat a introduir un llenguatge formal que ens permet un tractament unificat dels instruments i de seves les construccions, i els teoremes relacionats. Els conceptes principals d'aquest llenguatge són els d'axioma, eina i mapa. Les eines formalitzen els instruments geomètrics. Tota eina té associats uns axiomes, que són els processos bàsics que permet fer l'instrument. Definim formalment les construccions com a successions d'axiomes, que inclouen tota la informació necessària per descriure el procés que es du a terme. El llenguatge que presentem pretén ésser sistemàtic, però alhora és flexible i obert, per tal que s'hi puguin incorporar, si s'escau, nous instruments i construccions. Una vegada definits els conceptes d'eina i de construcció, fem una classificació de les eines segons dues relacions d'equivalència: l'equivalència geomètrica i l'equivalència virtual. En aquestes classificacions, reformulem resultats coneguts, com ara el teorema de Mohr-Masheroni, en una versió més feble, i provem nous resultats, que relacionen eines que no s'havien relacionat fins al moment. El mapa és un objecte geomètric i aritmètic que està format per una eina i per un conjunt inicial de punts i de corbes. Els mapes tenen associades capes, on es van formant punts i corbes de manera iterativa. La complexitat dels mapes i de les seves capes fa que la informació que se'n pot donar sigui sovint escassa. Donem, per a alguns mapes determinats, el creixement asimptòtic del cardinal del nombre de punts i de corbes de cada capa. En el cas del mapa del compàs fix, però, caracteritzem exactament els conjunts de punts i de corbes de cada capa del mapa. Introduïm una classificació dels mapes, que agrupa aquells que tenen el mateix conjunt de punts construïbles. En aquest context donem una nova demostració del teorema de Poncelet-Steiner i establim noves relacions entre mapes. A partir de la classificació dels mapes, introduïm una tercera classificació de les eines, que anomenem equivalència aritmètica. Donem nous resultats d'equivalència aritmètica, utilitzant el grau d'un axioma i la signatura d'una eina, conceptes de naturalesa algebraica. Per altra banda, estudiem l'estructura de les construccions, a les quals associem dos tipus de mesures. Un primer tipus de mesures, extrínseques a una construcció, són el nivell i el nivell virtual. Els nivells fan ús de les capes de mapes associats a la construcció. L'altre tipus de mesures, intrínseques a cada construcció, són la llargada, l'amplada, l'ordre i el rang. La introducció de totes aquestes mesures permet donar criteris de minimalitat i optimalitat d'una construcció. Calculem aquestes mesures per les construccions aritmètiques i algebraiques bàsiques i deduïm resultats que donen informació de relacions entre diferents capes dels mapes del regle i el compàs, l'origami i les còniques. Al llarg del treball, il·lustrem la nostra formalització amb diversos catàlegs: un catàleg d'axiomes, que conté principalment els axiomes relacionats amb instruments coneguts, un catàleg d'eines, on fem un recull de les principals eines conegudes amb les principals construccions que es poden fer amb elles, i un catàleg de mapes, on a banda de recopilar resultats de constructibilitat, incorporem algun mapa vinculat a eines noves, amb la caracterització del seu conjunt de punts construïbles. Finalment, presentem un catàleg de construccions, que consta d'una setantena de construccions, descrites amb el nou llenguatge que hem introduït, les seves mesures i la demostració de la seva validesa. La versió digital de la tesi incorpora vincles a fitxers interactius de Geogebra on es poden reproduir els passos de les construccions.