TDX/TDR - Departament de Matemàtica Aplicada i Anàlisi

Boundedness of the Hilbert Transform on Weighted Lorentz Spaces

Wed, 03 Apr 2013 10:26:27 GMT

Boundedness of the Hilbert Transform on Weighted Lorentz Spaces Agora, Elona The main goal of this thesis is to characterize the weak-type (resp. strong-type) boundedness of the Hilbert transform H on weighted Lorentz spaces Λpu(w). The characterization is given in terms of some geometric conditions on the weights u and w and the weak-type (resp. strong-type) boundedness of the Hardy-Littlewood maximal operator on the same spaces. Our results extend and unify simultaneously the theory of the boundedness of H on weighted Lebesgue spaces Lp(u) and Muckenhoupt weights Ap, and the theory on classical Lorentz spaces Λp(w) and Ariño-Muckenhoupt weights Bp.; Títol: Acotaciò de l'operador de Hilbert sobre espais de Lorentz amb pesos Resum: L'objectiu principal d'aquesta tesi es caracteritzar l'acotació de l'operador de Hilbert sobre els espais de Lorentz amb pesos Λpu(w). També estudiem la versió dèbil. La caracterització es dona en terminis de condicions geomètriques sobre els pesos u i w, i l'acotació de l'operador maximal de Hardy-Littlewood sobre els mateixos espais. Els nostres resultats unifiquen dues teories conegudes i aparentment no relacionades entre elles, que tracten l'acotació de l'operador de Hilbert sobre els espais de Lebegue amb pesos Lp(u) per una banda i els espais de Lorentz clàssics Λp(w) per altre banda.

Detection and Alignment of Vascular Structures in Intravascular Ultrasound using Pattern Recognition Techniques

Tue, 12 Mar 2013 11:30:45 GMT

Detection and Alignment of Vascular Structures in Intravascular Ultrasound using Pattern Recognition Techniques Alberti, Marina In this thesis, several methods for the automatic analysis of Intravascular Ultrasound (IVUS) sequences are presented, aimed at assisting physicians in the diagnosis, the assessment of the intervention and the monitoring of the patients with coronary disease. The basis for the developed frameworks are machine learning, pattern recognition and image processing techniques. First, a novel approach for the automatic detection of vascular bifurcations in IVUS is presented. The task is addressed as a binary classification problem (identifying bifurcation and non-bifurcation angular sectors in the sequence images). The multiscale stacked sequential learning algorithm is applied, to take into account the spatial and temporal context in IVUS sequences, and the results are refined using a-priori information about branching dimensions and geometry. The achieved performance is comparable to intra- and inter-observer variability. Then, we propose a novel method for the automatic non-rigid alignment of IVUS sequences of the same patient, acquired at different moments (before and after percutaneous coronary intervention, or at baseline and follow-up examinations). The method is based on the description of the morphological content of the vessel, obtained by extracting temporal morphological profiles from the IVUS acquisitions, by means of methods for segmentation, characterization and detection in IVUS. A technique for non-rigid sequence alignment - the Dynamic Time Warping algorithm - is applied to the profiles and adapted to the specific clinical problem. Two different robust strategies are proposed to address the partial overlapping between frames of corresponding sequences, and a regularization term is introduced to compensate for possible errors in the profile extraction. The benefits of the proposed strategy are demonstrated by extensive validation on synthetic and in-vivo data. The results show the interest of the proposed non-linear alignment and the clinical value of the method. Finally, a novel automatic approach for the extraction of the luminal border in IVUS images is presented. The method applies the multiscale stacked sequential learning algorithm and extends it to 2-D+T, in a first classification phase (the identification of lumen and non-lumen regions of the images), while an active contour model is used in a second phase, to identify the lumen contour. The method is extended to the longitudinal dimension of the sequences and it is validated on a challenging data-set.; En esta tesis, se presentan métodos para el análisis automático de secuencias de Ultrasonido Intravascular (IVUS), destinados a ayudar a los médicos en el diagnóstico, la evaluación de la intervención y el seguimiento de los pacientes con enfermedad coronaria. La base para los métodos desarrollados son técnicas de aprendizaje automático, reconocimiento de patrones y procesamiento de imagen. En primer lugar, se presenta un nuevo método para la detección automática de bifurcaciones vasculares en IVUS. La tarea se aborda como un problema de clasificación binaria (identificando los sectores angulares de bifurcación y de no-bifurcación en las imágenes de la secuencia). Se aplica el algoritmo de multiscale stacked sequential learning, para tener en cuenta el contexto espacial y temporal de las secuencias, y los resultados se refinan utilizando información a-priori acerca de las dimensiones de las ramificaciones y su geometría. El rendimiento obtenido es comparable a la variabilidad intra- e inter-observador. A continuación, se propone un nuevo método para la alineación automática no rígida de secuencias de ecografía intravascular del mismo paciente, adquiridas en diferentes momentos (antes y después de la intervención, o al inicio del estudio y en exámenes de seguimiento). El método se basa en la descripción del contenido morfológico del vaso, que se obtiene mediante la extracción de perfiles temporales morfológicos de las adquisiciones de IVUS. Una técnica para la alineación no rígida de secuencias - Dynamic Time Warping - se aplica a los perfiles y se adapta al problema clínico. Se proponen dos diferentes estrategias para hacer frente a la superposición parcial entre los frame de las secuencias correspondientes. Los beneficios de la estrategia propuesta se demuestran por una amplia validación en datos sintéticos e in vivo. Finalmente, se presenta un enfoque novedoso para la extracción automática de la frontera luminal en imágenes de IVUS. El método aplica el algoritmo de aprendizaje multiscale stacked sequential learning y lo extiende en 2-D+T, en una primera fase de clasificación (la identificación de regiones de lumen y no-lumen de las imágenes), mientras que un modelo de contorno activo se utiliza en una segunda fase, para identificar el contorno luminal.

Capacitary function spaces and applications

Mon, 20 Feb 2012 08:51:30 GMT

Capacitary function spaces and applications Silvestre Albero, María Pilar The first part of the thesis is devoted to the analysis on a capacity space, with capacities as substitutes of measures in the study of function spaces. The goal is to extend to the associated function lattices some aspects of the theory of Banach function spaces, to show how the general theory can be applied to classical function spaces such as Lorentz spaces, and to complete the real interpolation theory for these spaces included in [CeClM] and [Ce]. In the second part of the thesis, we present an integral inequality connecting a function space norm of the gradient of a function to an integral of the corresponding capacity of the conductor between two level surfaces of the function, which extends the estimates obtained by V. Maz’ya and S. Costea, and sharp capacitary inequalities due to V. Maz’ya in the case of the Sobolev norm. The inequality, obtained under appropriate convexity conditions on the function space, gives a characterization of Sobolev type inequalities involving two measures, necessary and sufficient conditions for Sobolev isocapacitary type inequalities, and self-improvements for integrability of Lipschitz functions.; La primera part està dedicada a l’anàlisi d’un espai de capacitat, amb capacitats com a substituts de les mesures en l’estudi d’espais de funcions. L’objectiu és estendre als recicles de funcions associats alguns aspectes de la la teoria d’espais de funcions de Banach, mostrar com la teoria general pot ser aplicada a espais funcionals clàssics com els espais de Lorentz, i completar la teoria d’interpolació real d’aquests espais inclosos en [CeClM] i [Ce]. A la segona part de la tesi es presenta una desigualtat integral que connecta la norma del gradient d’una funció en un espai de funcions amb la integral de la corresponent capacitat del conductor entre dues superfícies de nivell de la funció, que estén les estimacions obtingudes per V. Maz’ya i S. Costea, i desigualtats capacitàries fortes de V. Maz’ya en el cas de la norma de Sobolev. La desigualtat, obtinguda sota condicions de convexitat pel espai funcional, permet una caracterització de les desigualtats de tipus Sobolev per dues mesures, condicions necessàries i suficients per desigualtats isocapacitàries de tipus Sobolev, i la millora de l’autointegrabilitat de les funcions de Lipschitz.

Connectivity of Julia sets of transcendental meromorphic functions

Mon, 07 Nov 2011 11:20:34 GMT

Connectivity of Julia sets of transcendental meromorphic functions Taixés i Ventosa, Jordi Newton's method associated to a complex holomorphic function f is defined by the dynamical system Nf(z) = z – f(z) / f'(z). As a root-finding algorithm, a natural question is to understand the dynamics of Nf about its fixed points, as they correspond to the roots of the function f. In other words, we would like to understand the basins of attraction of Nf, i.e., the sets of points that converge to a root of f under the iteration of Nf. Basins of attraction are actually just one type of stable component or component of the Fatou set, defined as the set of points for which the family of iterates is defined and normal locally. The Julia set or set of chaos is its complement (taken on the Riemann sphere). The study of the topology of these two sets is key in Holomorphic Dynamics. In 1990, Mitsuhiro Shishikura proved that, for any non-constant polynomial P, the Julia set of NP is connected. In fact, he obtained this result as a consequence of a much more general theorem for rational functions: If the Julia set of a rational function R is disconnected, then R has at least two weakly repelling fixed points. With the final goal of proving the transcendental version of this theorem, in this Thesis we see that: If a transcendental meromorphic function f has either a multiply-connected attractive basin, or a multiply-connected parabolic basin, or a multiply-connected Fatou component with simply-connected image, then f has at least one weakly repelling fixed point. Our proof for this result is mainly based in two techniques: quasiconformal surgery and the study of the existence of virtually repelling fixed points. We conclude the Thesis with an idea of the strategy for the proof of the case of Herman rings, as well as some ideas for the case of Baker domains, which is left as a subject for a future project.

Por qué la difusión de Arnold aparece genéricamente en los sistemas hamiltonianos con más de dos grados de libertad.

Tue, 12 Apr 2011 13:51:11 GMT

Por qué la difusión de Arnold aparece genéricamente en los sistemas hamiltonianos con más de dos grados de libertad. Delshams, Amadeu El teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser no asegura la estabilidad cerca de los toros m-dimensionales que se conservan para hamiltonianos casi integrables con "m" grados de libertad. Puede aparecer una difusión de trayectorias llamada difusión de Arnold que es posible detectar a través del mecanismo de las cadenas de transición. En esta memoria se demuestra que la existencia de cadenas de transición genérica dentro de la categoría de sistemas hamiltonianos infinitamente derivables sobre una variedad compacta. La demostración es constructiva, introduciéndose una forma normal casi resonante cerca de puntos elípticos de cuyo estudio resulta la existencia de dichas cadenas de transicion al considerar tecnicas de conservacion de variedades normalmente hiperbolicas junto con la integral DE Melnikov asociada.

Morfismos diferenciables topológicamente lisos. Caracterizaciones y aplicaciones

Tue, 12 Apr 2011 13:51:11 GMT

Morfismos diferenciables topológicamente lisos. Caracterizaciones y aplicaciones Ortega Aramburu, Joaquín Mª Esta memoria recoge algunos de los puntos fundamentales e inéditos que han aparecido al iniciar un estudio sobre los métodos espectrales en Análisis y, en particular, sobre los anillos y estructuras diferenciables. Dicho estudio se ha realizado bajo la dirección del profesor Dr. J. Sancho Guimerà y en colaboración con J. Muñoz. El camino recorrido puede seguirse a través del articulo "Sobre las álgebras localmente convexas" de J. Muñoz y J. Ortega (Coll. Math 1969), la memoria "Caracterización de las álgebras diferenciables y síntesis espectral para módulos sobre tales álgebras", tesis doctoral de J. Muñoz y la presente memoria.

El capitulo I y la primera parte del capítulo III son, básicamente, de preparación para los teoremas de caracterización anteriormente citados. En la segunda parte del capítulo III se vuelve al problema de la localización para productos tensoriales de A-álgebras y módulos sobre las mismas.

En el primer apartado del capitulo III se estudian las derivaciones y diferenciales para A-álgebras de Fréchet y se dar para ellas propiedades análogas a las algebraicas de las diferenciales de Kalher.

En el capitulo IV se describen diversos ejemplos de morfismos "t" lisos que tienen interés en Análisis. Se definen los morfismos "t" lisos asociados a un fibrado trivial de base Spec (A) y fibra R(n) ó una variedad, así como el asociado a un módulo proyectivo que son las A-secciones de un fibrado localmente trivial de fibra R(n). De esta forma la estructura diferenciable ce las fibras se transporta a una "estructura A-diferenciable" en las A-secciones de dichos fibrados se demuestra que la A-variedad de las A-secciones del fibrado trivial de fibra una variedad es localmente isomorfa a un módulo proyectivo de los citados anteriormente. Como resultado marginal y como muestra de las posibilidades de estos planteamientos se observa como la demostración del teorema de existencia de soluciones en ecuaciones diferenciales ordinarias da directamente el teorema de dependencia diferenciable de las soluciones respecto a las condiciones iniciales y respecto a una familia de parámetros de las que depende la propia ecuación diferencial.

Real analysis in non-euclidean spaces: trees and spaces of homogeneous type

Tue, 12 Apr 2011 13:51:11 GMT

Real analysis in non-euclidean spaces: trees and spaces of homogeneous type Garcia Domingo, Josep Lluís DE LA TESIS:

El contenido de esta tesis se enmarca dentro del Análisis Real. En particular, trata del estudio de ciertos problemas de la teoría de pesos, (una referencia clásica sobre esta teoría es el libro de J. García-Cuerva y J.L. Rubio de Francia [GR]). Nosotros consideramos, por este orden, tres problemas clásicos diferentes, que abarcan buena parte de la teoría de pesos:

(i) Estudio de las inclusiones para espacios con pesos y acotación de operadores integrales entre estos espacios.

(ii) Estudio de propiedades funcionales de espacios con pesos asociados a una reordenada decreciente de funciones.

(iii) Estudio de la acotación de operadores maximales asociados a regiones de aproximación entre espacios con pesos.

Todos estos problemas han sido tratados extensamente en la literatura. Nuestro enfoque ha sido el de extender estos resultados a espacios con la mínima estructura necesaria. Concretamente, hemos trabajado respectivamente en cada capítulo en los siguientes contextos:

(i) Espacios de medida arbitrarios.

(ii) Árboles.

(iii) Espacios de tipo homogéneo.

Puesto que un árbol puede ser a su vez un espacio de medida, o puesto que su frontera puede ser un espacio de tipo homogéneo, algunos resultados para espacios de medida y espacios de tipo homogéneo han sido aplicados a los árboles (véanse los capítulos primero y tercero). En cambio, en el capítulo segundo trabajamos exclusivamente en árboles.

Los espacios donde hemos desarrollado nuestra teoría no poseen, en general, ningún tipo de estructura algebraica. Por tanto, todos los resultados persiguen un objetivo común: la extensión de la teoría de pesos a espacios no euclidianos.

On Quasiperiodic Perturbations of Ordinary Differential Equations

Tue, 12 Apr 2011 13:51:10 GMT

On Quasiperiodic Perturbations of Ordinary Differential Equations Jorba i Monte, Àngel In this work we study several topics concerning quasi-periodic time-dependent perturbations of ordinary differential equations. This kind of equations appear as models in many applied problems of Celestial Mechanics, and we have used, as an illustration, the study of the behaviour near the equilateral libration points of the real Earth-Moon system. Let us introduce this problem as a motivation. As a first approximation, suppose that the Earth and Moon arc revolving in circular orbits around their centre of masses, neglect the effect of the rest of the solar system and neglect the spherical terms coming from the Earth and Moon (of course, all the effects minor than the above mentioned) as the relativistic corrections, must be neglected). With this, we can write the equations of motion of an infinitesimal particle (by infinitesimal we mean that the particle is influenced by the Earth and Moon, but it does not affect them) by means of Newton's Jaw. The study of the motion of that particle is the so-called Restricted Three Body Problem (RTBP). Usually, in order to simplify the equations, the units of length, time and mass are chosen so that the angular velocity of rotation, the sum of masses of the bodies and the gravitational constant are all equal to one. With these normalized units, the distance between the bodies is also equal to one. If these equations of motion are written in a rotating frame leaving fixed the Earth and Moon (these main bodies are usually called primaries), it is known that the system has five equilibrium points. Two of them can be found as the third vertex of equilateral triangles having the Earth and Moon as vertices, and they are usually called equilateral libration points.

It is also known that, when the mass parameter "mi" (the mass of the small primary in the normalized units) is less than the Routh critical value "mi"(R) = 1/2(1 - square root (23/27) = 0.03852 ... (this is true in the Earth-Moon case) these points are linearly stable. Applying the KAM theorem to this case we can obtain that there exist invariant tori around these points. Now, if we restrict the motion of the particle to the plane of motion of the primaries we have that, inside each energy level, these tori split the phase space and this allows to prove that the equilateral points are stable (except for two values, "mi" = "mi"2 and "mi"= "mi"3 with low order resonances). In the spatial case, the invariant tori do not split the phase space and, due to the possible Arnold diffusion, these points can be unstable. But Arnold diffusion is a very slow phenomenon and we can have small neighbourhoods of "practical stability", that is, the particle will stay near the equilibrium point for very long time spans.

Unfortunately, the real Earth-Moon system is rather complex. In this case, due to the fact that that the motions of the Earth and the Moon are non circular (even non elliptical) and the strong influence of the Sun, the libration points do not exist as equilibrium points, and we need to define "instantaneous" libration points as the ones forming an equilateral triangle with the Earth and the Moon at each instant. If we perform some numerical integrations starting at (or near) these points we can see that the solutions go away after a short period of time, showing that these regions are unstable.

Two conclusions can be obtained from this fact. First: if we are interested in keeping a spacecraft there, we will need to use some kind of control. Second: the RTBP is not a good model for this problem} because the behaviour displayed by it is different from the one of the real system.

For these reasons, an improved model has been developed in order to study this problem. This model includes the main perturbations (due to the solar effect and to the noncircular motion of the Moon), assuming that they are quasi-periodic. This is a very good approximation for time spans of some thousands of years. It is not clear if this is true for longer time spans, but this matter will not be considered in this work. This model is in good agreement with the vector field of the solar system directly computed by means of the JPL ephemeris, for the time interval for which the JPL model is available.

The study of this kind of models is the main purpose of this work.

First of all, we have focused our attention on linear differential equations with constant coefficients, affected by a small quasi-periodic perturbation. These equations appear as variational equations along a quasi-periodic solution of a general equation and they also serve as an introduction to nonlinear problems.

The purpose is to reduce those systems to constant coefficients ones by means of a quasi-periodic change of variables, as the classical Floquet theorem does for periodic systems. It is also interesting to nave a way to compute this constant matrix, as well as the change of variables. The most interesting case occurs when the unperturbed system is of elliptic type. Other cases, as the hyperbolic one, have already been studied. We have added a parameter ("epsilon") in the system, multiplying the perturbation, such that if "epsilon" is equal to zero we recover the unperturbed system. In this case we have found that, under suitable hypothesis of non-resonance, analyticity and non-degeneracy with respect to "epsilon", it is possible to reduce the system to constant coefficients, for a cantorian set of values of "epsilon". Moreover, the proof is constructive in an iterative way. This means that it is possible to find approximations to the reduced matrix as well as to the change of variables that performs such reduction. These results are given in Chapter 1.

The nonlinear case is now going to be studied. We have then considered an elliptic equilibrium point of an autonomous ordinary differential equation, and we have added a small quasi-periodic perturbation, in such a way that the equilibrium point does not longer exist. As in the linear case, we have put a parameter ("epsilon") multiplying the perturbation. There is some "practical" evidence that there exists a quasi-periodic orbit, having the same basic frequencies that the perturbation, such that, when the perturbation goes to zero, this orbit goes to the equilibrium point. Our results show that, under suitable hypothesis, this orbit exists for a cantorian set of values of "epsilon". We have also found some results related to the stability of this orbit. These results are given in Chapter 2.

A remarkable case occurs when the system is Hamiltonian. Here it is interesting to know what happens to the invariant tori near these points when the perturbation is added. Note that the KAM theorem can not be applied directly due to the fact that the Hamiltonian is degenerated, in the sense that it has some frequencies (the ones of the perturbation) that have fixed values and they do not depend on actions in a diffeomorphic way. In this case, we have found that some tori still exist in the perturbed system. These tori come from the ones of the unperturbed system whose frequencies are non-resonant with those of the perturbation. The perturbed tori add these perturbing frequencies to the ones they already had. This can be described saying that the unperturbed tori are "quasi-periodically dancing" under the "rhythm" of the perturbation. These results can also be found in Chapter 2 and Appendix C.

The final point of this work has been to perform a study of the behaviour near the instantaneous equilateral libration points of the real Earth-Moon system. The purpose of those computations has been to find a way of keeping a spacecraft near these points in an unexpensive way. As it has been mentioned above in the real system these points are not equilibrium points, and their neighbourhood displays unstability. This leads us to use some control to keep the spacecraft there. It would be useful to have an orbit that was always near these points, because the spacecraft could be placed on it. Thus, only a station keeping would be necessary. The simplest orbit of this kind that we can compute is the one that replaces the equilibrium point. In Chapter 3, this computation has been carried out first for a planar simplified model and then for a spatial model. Then, the solution found for this last model has been improved, by means of numerical methods, in order to have a real orbit of the real system (here, by real system we mean the model of solar system provided by the JPL tapes). This improvement has been performed for a given (fixed) time-span. That is sufficient for practical purposes. Finally, an approximation to the linear stability of this refined orbit has been computed, and a very mild unstability has been found, allowing for an unexpensive station keeping. These results are given in Chapter 3 and Appendix A.

Finally, in Appendix B the reader can find the technical details concerning the way of obtaining the models used to study the neighbourhood of the equilateral points. This has been jointly developed with Gerard Gomez, Jaume Llibre, Regina Martinez, Josep Masdemont and Carles Simó.

We study several topics concerning quasi-periodic time-dependent perturbations of ordinary differential equations. This kind of equations appear in many applied problems of Celestial Mechanics, and we have used, as an illustration, the study of the behaviour near the Lagrangian points of the real Earth-Moon system. For this purpose, a model has been developed. It includes the main perturbations (due to the Sun and Moon), assuming that they are quasi-periodic.

Firstly, we deal with linear differential equations with constant coefficients, affected by a small quasi-periodic perturbation, trying to reduce then: to constant coefficients by means of a quasi-periodic change of variables. The most interesting case occurs when the unperturbed system is of elliptic type. We have added a parameter "epsilon" in the system, multiplying the perturbation, such that if "epsilon" is equal to zero we recover the unperturbed system. In this case, under suitable hypothesis of non-resonance, analyicity and non degeneracy with respect to "epsilon", it is possible to reduce the system to constant coefficients, for a cantorian set of values of "epsilon".

In the nonlinear case, we have considered an elliptic equilibrium point of an autonomous differential equation, and we have added a small quasi-periodic perturbation, in such a way that the equilibrium point does not exist. As in the linear case, we have put a parameter ("epsilon") multiplying the perturbation. Then, for a cantorian set of "epsilon", there exists a quasi-periodic orbit having the same basic frequencies as the perturbation, going to the equilibrium point when t: goes to zero. Some results concerning the stability of this orbit are stated. When the system is Hamiltonian, we have found that some tori still exist in the perturbed system. These tori come from the ones of the unperturbed system whose frequencies are non-resonant with those of the perturbation, adding these perturbing frequencies to the ones they already had.

Finally, a study of the behaviour near the Lagrangian points of the real Earth-Moon system is presented. The purpose has been to find the orbit replacing the equilibrium point. This computation has been carried out first for the model mentioned above and then it has been improved numerically, in order to have a real orbit of the real system. Finally, a study of the linear stability of this refined orbit has been done.

The Role and Usage of Libration Point Orbits in the Earth - Moon System

Tue, 12 Apr 2011 13:51:09 GMT

The Role and Usage of Libration Point Orbits in the Earth - Moon System Alessi, Elisa Maria In this dissertation, we show the effectiveness of the exploitation of the Circular Restricted Three - Body Problem (CR3BP) in the Earth - Moon framework. We study the motion of a massless particle under the gravitational attraction of Earth and Moon, either to design missions in the new era of lunar exploration and simulate the behaviour of minor bodies that get close to the Earth.

A fundamental role is played by the five equilibrium, or libration, points that appear in the rotating reference system. We focus on two, L(1) and L(2), unstable collinear libration points, taking advantage of the central and hyperbolic invariant manifolds, which exist in their neighborhood. Various types of periodic and quasi-periodic orbits, to be conceived as station locations for a spacecraft, occupy the central manifold. A stable and an unstable invariant manifold are associated with any of these orbits: they serve as channels to get far or close to the central orbits for t > / = 0. We exploit the corresponding dynamics to construct transfers from either Earth and Moon to a libration point orbit (LPO) and to investigate some paths that might guide asteroids impacting onto the Moon.

We are witnesses of a recent enthusiasm on a possible return to the Moon. Several space agencies have designed unmanned missions that have just achieved observations around the Moon, in view of a future human installation. Besides, the space tourism companies are planning to extend their potentiality by offering lunar trips. In this context, the neighborhood of L(1) seems to be an appropriate place to put a space hub. Instead, L(2) would be profitable to monitor the lunar farside.

In Chapter 1, we explain the CR3BP and how to compute, with different methodologies, central orbits along with their associated hyperbolic manifolds and the transit trajectories lying inside them. Then, two more elaborate dynamical systems are introduced, the Bicircular Restricted Four - Body Problem and the Restricted n - Body Problem.

In Chapter 2, we use the stable and the unstable manifolds associated with L1/L2 central orbits to connect the lunar surface with such LPOs. We see that almost no effort should be put to follow these transfers thanks tothe natural dynamics we consider.

In Chapter 3, we study how to depart from a nominal orbit around the Earth and arrive to a L1/L2 LPO. This case requires two maneuvers, one to leave the Low Earth Orbit and another to insert into the stable manifold associated with the given LPO.

In Chapter 4, we wonder how the above reference solutions can change whenever different forces are added to the dynamical model. We describe two possible approaches that can be implemented, namely an optimal control strategy and a multiple shooting procedure. The results demonstrate that also in the Earth - Moon framework the CR3BP gives solutions close to the ones to be used in reality.
In Chapter 5, we cope with the collision of asteroids onto the Moon. Such phenomenon happens continuously on all the rocky bodies populating the Solar System, as it can be inferred from the craters that mould their surface, and it is widely studied by several branches of science, since it provides information on the target and on the impactors in dynamical, astronomical and geological terms.

We analyze the role played, in the creation of lunar impact craters, by low-energy transit trajectories which approach the neighborhood of L(2). It turns out that in the most likely case the collisions are focused on the apex of the Moon. Summing up the gravitational force exerted by the Sun, we notice that the relative Earth-Moon-Sun configuration can change dramatically the percentage and the region of impact.

KEYWORDS: Circular Restricted Three-Body Problem, Lunar Impact Dynamics, Low-Energy Transfers, Optimal Control; L'objectiu d'aquest treball és mostrar la utilitat de l'explotació del Problema Circular Restringit dels Tres Cossos (CR3BP) pel sistema Terra - Lluna. Aquest sistema dinàmic considera el moviment d'una partícula amb massa negligible sota l'atracció gravitatòria de Terra i Lluna i pot ser usat pel disseny de missions espacials a la nova era d'exploració lunar, així com per simular el comportament d'asteroides i cometes que s'apropen a la Terra.

Els cinc punts d'equilibri, o de libració, del CR3BP que apareixen al sistema de referència giratori, juguen un paper fonamental: ens centrarem en dos punts de libració col·lineals inestables, L(1) i L(2).

Convé tenir en compte les varietats invariants centrals i hiperbòliques que hi ha a l'entorn de L(1) i L(2). La varietat central està ocupada per diversos tipus d'òrbites periòdiques i quasi-periòdiques, que poden ser concebudes com a solucions d'estacionament per a un vehicle espacial. Qualsevol d'aquestes òrbites té associada una varietat estable i una d'inestable, que serveixen com a canals per arribar lluny o prop de les òrbites centrals per t >/= 0.

Farem ús de la dinàmica associada a aquestes varietats per a la construcció de transferències des de la Terra i la Lluna a una òrbita de libració i per investigar alguns camins que podrien guiar asteroides que impacten amb la Lluna.

Pel que fa a la primera qüestió, l'entorn de L(1) sembla ser el lloc més apropiat per posar una estació espacial. D'altra banda, L(2) seria útil per observar i/o controlar la cara oculta de la Lluna.

A la segona part de la tesi, investiguem la col·lisió d'asteroides amb la Lluna. Aquest fenòmen té lloc contínuament a tots els cossos rocosos del Sistema Solar, com es pot deduir dels cràters que modelen les seves superfícies. El procés de formació de cràters proporciona informació sobre el cos objectiu i sobre els asteroides,en termes dinàmics, astronòmics i geològics. Nosaltres estem interessats en el desenvolupament d'una metodologia diferent que pot ajudar en aquesta recerca.

En la obra, explotem les eines de Teoria de Sistemes Dinàmics i estratègies de control òptim.

Mesura del trencament de separatrius en famílies de difeomorfismes amb punts hiperbòlics

Tue, 12 Apr 2011 13:51:08 GMT

Mesura del trencament de separatrius en famílies de difeomorfismes amb punts hiperbòlics Fontich Julià, Ernest Se consideran familias de difeomorfismos con un punto fijo parabólico para el valor cero del parámetro y un punto fijo hiperbólico para valores mayores que cero que tengan en este caso puntos homoclínicos asociados a las variedades invariantes del punto hiperbólico. Para estas familias se estudia la separación máxima entre estas variedades en una región fijada la cual da una medida cuantitativa de la falta de integrabilidad del difeomorfismo. En el caso diferenciable se obtiene que la separación es del orden de una potencia adecuada del parámetro (que se explicita). En el caso infinitamente diferenciable es del orden de cualquier potencia del parámetro y en el caso analítico conservativo es menor que una función exponencialmente decreciente cuyos parámetros se relacionan con singularidades complejas.

Además se hace un estudio del comportamiento de las variedades invariantes de un punto fijo hiperbólico de difeomorfismos diferenciables cercanos a la identidad y se da un tratamiento uniforme de la forma normal de Birkmoff alrededor de un punto fijo hiperbólico para familias de difeomorfismos conservativos analíticos que contengan la identidad.

Contribució a l'estudi del problema restringit de 3 cossos per a valors petits del paràmetre de masses

Tue, 12 Apr 2011 13:51:08 GMT

Contribució a l'estudi del problema restringit de 3 cossos per a valors petits del paràmetre de masses Benseny Ardiaca, Antoni El problema de 3 cossos i, en particular, el problema restringit de 3 cossos, ha estat i és, com diu Wintner, la pedra de toc per als matemàtics de les successives generacions de Newton fins ara. Cada generació ha emprat les eines que estaven al seu abast per ampliar coneixements sobre aquest problema.

En aquesta memòria exposem la nostra contribució a l'estudi del problema restringit, usant una combinació d'eines analítiques i, quan s'escau, numèriques per a tractar idees essencialment geomètriques.

El capítol I constitueix una exposició d'aspectes ben coneguts del problema giratori de Kepler, ja que ens mirarem el problema restringit per a valors petits del paràmetre de masses com una pertorbació d'aquell; inclou també detalls sobre regularització i quasi-integrabilitat en la zona el·líptica del problema restringit. La seva lectura pot ésser omesa per tota persona familiaritzada amb el problema, excepte pel que fa a la notació usada.

En el capítol II es tracta el comportament de les òrbites prop de les parabòliques del problema giratori de Kepler per a valors grans de la constant de Jacobi i paràmetre de masses petit. És a dir, centrem el nostre estudi en la component no fitada de la regió de Hill. Encara que existeix un estudi previ sobre el particular, ací completem la informació sobre la frontera de la regió d'òrbi-tes "el·líptiques" i, seguint idees d'Alekseev, fem un estudi qualitatiu de les diverses "cintes" d'òrbites d'escapament i captura, després d'un nombre donat de passos pel "pericentre". Un model aproximat, usant la informació anterior ens permet de fer l'estudi quantitatiu de les dites "cintes" mitjançant un ús convenient de l'aplicació standard, determinem la frontera de la zona estable-Lagrange.

En el capítol III ens situem en un marc completament diferent; ara, el valor de la constant de Jacobi és petit, en valor absolut, i ens preguntem per les òrbites que experimenten col·lisió amb el primari i que van (venen) parabòlicament al (del) infinit. Es mostra que el nombre de tals òrbites (deixant de banda possibles passos prop del secundari) queda determinat en funció de la constant de Jacobi.

En el capítol IV es tracta el problema dels passos prop del secundari. Aquest, si és prou petit, no exerceix influència apreciable sobre el cos de massa menyspreable a no ser que passi a distància suficientment petita. En funció de la constant de Jacobi es determina el "disc d'influència" del secundari i les variacions que produeix tant en posició i velocitat com en moment angular i, per tant, energia; tot això, quan el cos de massa menyspreable està en moviment hiperbòlic respecte al secundari. El moviment global estarà constituit per arcs de cònica respecte al primari, vistos en coordenades sinòdiques i lleugerament pertorbats, empalmats mitjançant arcs d'hipèrbola respecte al secundari, lleugerament pertorbats.

Design and evaluation of navigation and control algorithms for spacecraft formation flying missions

Tue, 12 Apr 2011 13:51:07 GMT

Design and evaluation of navigation and control algorithms for spacecraft formation flying missions Perea Virgili, Laura Formation flying offers space-dependent disciplines such as astrophysics, astrodynamics, and geodesy, to name a few, the possibility of creating large spaceborne sensors from an array of small spacecraft flying in formation. This creates exciting scientific and technical opportunities as the formation could be arranged to work as, for example, an interferometer, thus providing a most unlimited angular resolution or a virtual telescope, thus unrestricted focal distances. Since the first mission including formation flying technology (EO-1) was selected by NASA, some of the challenges to realize full Formation Flying (FF) capabilities has been thought to be the definition of suitable algorithms to navigate and control FF missions.

The focus of this dissertation is the design and evaluation of algorithms for navigation and control for formation flying missions. Given its importance, extensive research has been already conducted to fulfill the increase of accuracy, autonomy, and other requirements of the Guidance, Navigation, and Control (GNC) systems that derive from novel applications of formation flying missions. To centre the scope of present work, we have mainly focused in three of the present challenges: the difficulties of fusing different non-linear observations for relative navigation; the analysis and extension of behavioural algorithms for controlling a formation of spacecraft; and the design and validation of a control law for formation acquisition and formation keeping of a non-natural relative trajectory. These three interconnected topics cover a wide range of research in formation flying and embody the main algorithm components of formation flying algorithms from the observations to the navigation and to the control.

The first challenge consisted, thus, in addressing the difficulties encountered by classical filters to estimate a state vector fusing common observations. We proposed several strategies to improve the robustness of these filters under non-linear conditions. Among these strategies, the modification of the residuals computation for the Unscented Kalman Filter (UKF) deserves special mention due to its excellent results and robustness against nonlinearities. A theoretical basis for these results became, thus, necessary regarding the new update equation of the UKF and has been developed subsequently in the frame of this thesis. This work has been published in Perea et al. (2007) and Perea and Elosegui (2008).

The collective motion exhibited by some groups of animals has recently attracted the interest of many research groups who try to take advantage of the robustness and efficiency of natural patterns. With this aim, we have investigated the possibility of extending an interaction model that has shown emergent behaviour. In particular, the Cucker-Smale (CS) model has been extended for its application on spacecraft formation flying. Numerical simulations of the Darwin mission have proved that this strategy is suitable for loose formation keeping. Of special relevance is the low cost of the controller, specially compared to an alternative strategy, the Zero Relative Radial Acceleration Cones (ZRRAC).

The problem of tight formation keeping is addressed previous publications. In these papers, we first study the relative dynamics of a virtual telescope that follows a non-natural relative trajectory driven by the position of an observed body and not by the natural forces in space. This analysis has originated the design of several controls based on different approximations of the relative dynamics. Their performances have been tested and compared through numerical simulations of the PROBA-3 mission using, first, computer based simulations, and then, a realistic platform with GNSS hardware and operational flight software in the loop. The main conclusions show that simple control definitions, as defined by the Linear Quadratic Regulator (LQR) and Linear Quadratic Regulator with the Integral term (LQRI), can fulfill stringent requirements for formation acquisition and tight formation keeping.

KEYWORDS: Filering Theory; Control Theory; Guidance, Navigation and Control Systems; Formation Flying Missions; El vol de satèl.lits en formació ofereix a les disciplines de I'espai, com ara I'astrofísica, I'astrodinàmica i la geodesia, per anomenar-ne unes quantes, la possibilitat de crear grans sensors espacials a partir d'un petit grup de satèl·lits en formació. Disposar els satèl·lits per a operar com, per exemple, un interferòmetre, i per tant, oferint una resolució angular gairebe il.limitada, o com a telescopi virtual i aconseguir distàncies focals inimaginables amb un únic satèl·lit, crea grans oportunitats científiques i tècniques. Des del moment en que la NASA va seleccionar la primera missió espacial que incorporava tecnologia de vol en formació (EO-1), un dels reptes que es preveien per a realitzar autentiques missions de vol en formació es la definició d'algorismes específics per a la navegació i control dels satèl·lits.

L'objectiu principal d'aquesta tesis es el disseny i avaluació d'algorismes de navegació i control apropiats per al vol de satèl·lits en formació. Donada la importancia d'aquestes missions, s'ha realitzat una extensa investigació per aconseguir acomplir amb l'increment d'objectius referents a la precisió, l'autonomia, i altres requisits del sistema de Guiat, Navegació i Control (GNC) que resulta de les noves aplicacions d'aquestes missions. El contingut d'aquesta tesis es centra en tres reptes actuals referents al sistema GNC: les dificultats de combinar diferents tipus d'observacions no lineals per a la navegació relativa; l'anàlisi i extensió d'algorismes de comportament per a controlar una formació de satèl.lits; i el disseny i la validació d'una llei de control per a l'adquisició i manteniment d'una formació en trajectòria no natural. Aquests tres temes interconnectats cobreixen una amplia àrea de recerca en el camp del vol en formació i incorpora els principals components dels algorismes de vol en formació, des de les observacions fins a la navegació i el control.

Transference theory between quasi-Banach function spaces with applications to the restriction of Fourier multipliers.

Tue, 12 Apr 2011 13:51:07 GMT

Transference theory between quasi-Banach function spaces with applications to the restriction of Fourier multipliers. Rodríguez López, Salvador In the early 1970 fs, R. Coifman and G. Weiss, generalizing the techniques introduced by A. Calderon, developed a method for transferring abstract convolution type operators, defined on general topological groups, and their respective bounds, to the so called gtransferred operators h, which are operators defined on general measure spaces. To be specific, if G is a topological group and R_x is a representation of G on some Banach space B and K is a convolution operator on G given by

Kf= çk(x-y) f(y) dy

with k an L^1 function, the transferred operator T is defined by letting

Tf= çk(x-y) R_xf(y) dy.

Transfer methods deal with the study of the preservation of properties of K that are still valid for T, mostly focusing on the preservation of boundedness on Lebesgue spaces Lp. These methods has been applied to several problems in Mathematical Analysis, and especially to the problem of restrict Fourier multipliers to closed subgroups. These techniques have been extended by other authors as N. Asmar, E. Berkson and A. Gillespie, among many others. It is worth noting however, that these prior developments have always been focused on inequalities for operators on Lebesgue spaces Lp.

In this thesis there are developed several transference techniques for quasi-Banach spaces more general than Lebesgue spaces Lp, as Lorentz spaces Lp, q, Orlicz-Lorentz, Lorentz-Zygmund spaces as well as for weighted Lebesgue spaces Lp(w). The most significant applications are obtained in the field of restriction of Fourier multipliers for rearrangement invariant spaces and weighted Lebesgue spaces Lp(w). Specifically, we get generalizations of the results obtained by K. De Leeuw for Fourier multipliers. There are also developed similar techniques in the context of multilinear operators of convolution type, where the basic example is the bilinear Hilbert transform, as well as for modular inequalities and inequalities arising in extrapolation

Mesures i probabilitats en estructures ordenades

Tue, 12 Apr 2011 13:51:06 GMT

Mesures i probabilitats en estructures ordenades Congost Iglesias, Maria Assumpta En una primera part s'estudien els conjunts de mesures que prenen valors en un grup reticualt, per a les quals la T-aditivitat es defineix a partir de l'estructura ordenada. L'estudi realitzat a partir de les propietats reticulars i de convergència en ordre condueix a l'obtenció dels anàlegs dels teromes clàssics de descomposició: el de Jordan, el de Yoshida-Hewih i el de Lebesgue. En una segona part es construeix una integral en relació a una mesura d'aquest tipus, valorada en la part positiva d'un anell reticulat T-condicionalment complet per a funcions que prenen valors en el mateix anell.; En una primera parte son estudiados los conjuntos de medidas que toman valores en un grupo reticulado para las que la T-aditividad se define a partir de la estructura ordenada. El estudio realizado a partir de las propiedades reticulares y de convergencia en orden conduce a la obtención de los análogos de los teoremas clásicos de descomposición: el de Jordan, el de Yosida-Hewih y el de Lebesgue. En una segunda parte se construye una integral respecto a una medida de este tipo, valorada en la parte positiva de un anillo reticulado T-condicionalmente completo para funciones que toman valores en el mismo anillo.

The Primitive Function of an Exact Symplectomorphism. Variational principles, Converse KAM Theory and the problems of determination and interpolation

Tue, 12 Apr 2011 13:51:06 GMT

The Primitive Function of an Exact Symplectomorphism. Variational principles, Converse KAM Theory and the problems of determination and interpolation Haro Provinciale, Àlex We have divided this thesis in four parts:

a) PART I: Exact symplectic geometry (introduction of the problems). This part contains the basic tools of symplectic geometry and outlines the four subjects that we have study along the thesis: the determination problem, the interpolation problem, the variational problem and the breakdown problem.

b) PART II: On the standard symplectic manifold (analytical part). We recall the necessary tools to work on R(d) x R(d). That is we perform a coordinate treatment of the results. First of all we relate different kinds of generating functions to the primitive function and later we solve formally the determination problem. Then we introduce different variational principles: for fixed points, periodic orbits and orbital segments. Their invariance under certain kind of transformations of phase space is proved, and we interpret physically such results. Finally we give the basic properties of invariant exact Lagrangian graphs obtaining at last that if our graph is minimizing then its orbits are minimizing.

c) PART III: On the cotangent bundle (geometrical part). The first three chapters are similar to the three previous ones with the difference that we do an intrinsic treatment of the results by considering any cotangent bundle. The fourth chapter in this part deals with the solution of the interpolation problem given in analytic set up.

d) PART IV: Converse KAM theory (numerical part). The last part deals with the applications to converse Kolmogorv-Arnold-Moser (KAM) theory. First of all we give a small list of different examples that we shall study later. Then we generalize converse KAM theory and we related it to the Lipschitz theory by Birkhoff and Herman. Then we perform our variational Greene method and apply it to different examples. Also we study numerically the Aubry-Mather sets in higher dimensions. After this we apply our methods to the rotational standard map that is a symplectic skew product. Then we give some ideas about the geometrical obstructions for existence of invariant tori showing them with a simple example. We also find some known Birkhoff normal forms using our methods. Finally we explain briefly how our theory can be used for arbitrary Lagrangian foliations.; La present memòria es troba dividida en quatre parts ben diferenciades. La primera conté les eines bàsiques de la geometria simplèctica i planteja els quatre problemes que tractarem al llarg de la memòria: el problema de determinació, el problema d'interpolació, el problema variacional i el problema del trencament de tors invariants.

La segona part tracta sobre la varietat simpléctica estàndard, i vindria a ser la part analítica. Aquí hem treballat a R(d) x R(d), és a dir hem fet un tractament coordenat dels resultats. Primer relacionem les funcions generatrius amb la funció primitiva i després resolem formalment el problema de determinación. Tot seguit tractem diferents principis variacionals per als punts fixos per a les òrbites periòdiques i per als segments orbitals. La seva invariància respecte a certs tipus de transformacions de l'espai de fase és demostrada donant una interpretació física. Finalment donem les propietats bàsiques dels grafs Lagrangians invariants, especialment aquella que diu que les òrbites sobre un graf minimitzant són minimitzants.

La tercera part abraça el tema del fibrat cotangent, la part geométrica de l'obra. Els tres primers capítols segueixen més o menys la línia dels tres precedents amb la diferéncia fonamental que aquí considerem qualsevol fibrat cotangent. Fem llavors un tractament intrínsec. El quart capítol d'aquesta part està dedicat a resoldre el problema d'interpolació en el cas analític.

La quarta i darrera part (que vindria a ser la secció numèrica de la tesi), tracta de les aplicacions a la teoria Kolmogorv, Arnold i Moser (KAM) inversa o del trencament dels tors invariants. Primer donem una llista d'exemples que utilitzarem més endavant. Després generalitzem la teoria KAM inversa i la relacionem amb la teoria Lipschitziana de Birkhoff i Herman. Llavors implementem el nostre criteri de Greene variacional i l'apliquem a diferents exemples. També estudiem els equivalents dels conjunts d'Aubry-Mather en dimensió alta (bé = 4). Després apliquem aquesta metodologia a l'aplicació estàndard rotacional (3D), indicant abans la teoria necessària. Llavors donem algunes idees de com generalitzar els criteris obstruccionals a dimensions altes hi ho mostrem amb un petit exemple. Finalment retrobem algunes formes normals de Birkhoff utilitzant la nostra metodologia basada en la funcióprimitiva i expliquem una mica com es podria considerar la nostra teoria tenint en compte foliacions Lagrangianes arbitràries.

Invariant manifolds and bifurcations for one-dimensional and two-dimensional dissipative maps

Tue, 12 Apr 2011 13:51:05 GMT

Invariant manifolds and bifurcations for one-dimensional and two-dimensional dissipative maps Tatjer i Montaña, Joan Carles It is known that for the study of continuous dynamical systems the discret case plays an important role because, with it we can study the continuous one by using the Poincaré return map. In the discret case we can distinguish between conservative maps (or area preserving maps, in the case of flows living on a 3-dimensional manifold) and non conservative maps. Among the last ones, there are the dissipative maps. Two of the main subjects of the study of dissipative maps are: the existence or not of attracting periodic orbits and the possible existence of strange attractors -that is, attractors that are neither periodic orbits nor invariant curves, which are minimal and contain a dense orbit. Moreover, these attractors can have sensitive dependence on the initial conditions, or have an absolutely continuous invariant measure. On the other hand there exists a transition between these two behaviours: the so-called flip or period doubling bifurcation cascade. After the final of this cascade (in a suitable set of parameters), strange attractors can appear, and also more attracting periodic orbits.

This doctoral dissertation is divided in four chapters:

In the first one we study the dynamics of the so called logistic map; more specifically, we study first fold and flip bifurcations of this family, giving analytical expressions of the parameter values for which they occur. In the second chapter, we consider the Hénon map with strong dissipation. In the third chapter we study the Newhouse phenomenon. To this end we prove a more complete version of the phenomenon than others proved before, in which we show the existence of generic saddle-node and flip bifurcations, for parameters close to the parameter of homoclinic tangency. In chapter four we study the behaviour of the codimension one and two bifurcations in one and two dimensional families of maps. To do this, we consider one-parameter families of diffeomorphisms, to study saddle-node and flip bifurcations, and two-parameter families of dissipative diffeomorphisms, to study cusps and codimension two flips.

Estudi de sistemes dinàmics mitjançant la reducció de la seva dimensió

Tue, 12 Apr 2011 13:51:05 GMT

Estudi de sistemes dinàmics mitjançant la reducció de la seva dimensió Bosch Gual, Miquel L'objectiu del treball és mostrar que alguns aspectes de certs sistemes dinàmics discrets bidimensionals poden ser estudiats mitjançant sistemes de dimensió 1 que corresponen a casos particulars o simplificacions. Els tres capítols de què consta són independents entre sí.

La difèrencia d'orientació entre els tres és la següent: en el primer es relacionen, des d'un punt de vista totalment teòric, certes propietats eutre aplicacions unidimensionals i bidimensionals, per a una fanu1ia d'un tipus genèric; els altres dos capítols, en canvi, tracten sistemes dinàmics concrets. En el segon, l'estudi unidimensional previ no té interès per ell mateix, sinó que només és un pas preliminar per a obtenir informació amb la qual poder començar l'estudi bidimensional. En el tercer, en canvi, fem primerament l'estudi bidimensional i, a causa de les dificultats per anar més lluny, ens inventem un model unidimensional que manté tota. La informació que teníem del bidimensional i, a més, permet ampliar els resultats.

Remarquem que el segon i tercer capítol no són aplicacions del primer, sinó que il·lustren altres maneres de relacionar sistemes dinàmics discrets de dimensions diferents. Seguidament, resumim cada capítol.

En el primer, s'estudia una fanu1ia genèrica d'aplicacions bidimensionals, que depenenm d'un paràmetre "b", i tal que si b no és 0 llavors és un difeomorfisme, mentre que quan b=0, l'aplicació és degenerada, en el sentit següent: de les dues variables, una és muda (no apareix en la imatge); i, de les dues components, una és 0. Per tant, aquesta aplicació bidimensional degenerada és equivalent a un endomorfisme en dimensió 1.

S'estudia com estendre algunes propietats de l'aplicació unidimensional a la bidimensional (per a "b" suficientment petit), així com la dependència respecte el paràmetre. Prèviament, es fa un repàs dels conceptes i propietats que s'usen en el capítol, estenent la seva validesa (sempre que sigui possible) al cas d'aplicacions diferenciables que no siguin necessàriament invertibles -això es fa per a incloure el cas degenerat- i, seguidament, es tracten les propietats següents: existència i estabilitat de punts periòdics hiperbòlics, possibilitat de tenir alguna bifurcació genèrica de codimensió 1 (sella-node o flip, ja que eliminem la possibilitat de bifurcació de Hopf perquè l'aplicació és dissipativa), validesa del teorema de Hartman-Grobman per al nostre cas degenerat i dependència continua de la conjugació respecte "b", dependència diferenciable de les varietats invariants respecte "b", i existència de punts homoclinics transversals. En tots aquests casos, s'aconsegueix representar la propietat del sistema bidimensional com una extensió de la del sistema unidimensional, excepte en el cas del teorema de Hartman, en què la dependència respecte el paràmetre no es pot fer arribar fins a b = 0.

En cada secció, a més, s'inclouen resultats secundaris, aplicacions i comentaris referents a dificultats d'extensió d'altres conceptes.

En el capítol 2 es considera un sistema concret de tres equacions diferencials ordinàries amb les propietats següents: és lineal a trossos, depèn de 2 paràmetres, és un problema de pertorbació singular, i correspon a una modelització d'un circuit electrònic. El sistema té dos punts d'equilibri del tipus sella-focus inestable, i la complexitat de la seva dinàmica va associada al fenomen de Silnikov, ja que els valors propis de la linealització en aquests punts verifiquen les propietats adequades.

Després de definir el sistema, s'estudien les dificultats que origina la doble definició del camp sobre la frontera de separació dels diversos dominis, i es donen les seves propietats elementals.

Per a fer l'estudi de les bifurcacions homoclíniques i periòdiques del sistema, es considera una aplicació de Poincaré adequada. Quan el paràmetre de pertorbació és 0, el sistema esdevé singular: la dimensió efectiva és 2, i el moviment queda restringit a la varietat lenta (que consta de 2 semiplans), amb salts verticals instantanis entre les diverses components. L'aplicació de Poincaré associada és ara unidimensional, amb una quantitat numerable de discontinuïtats que s'acumulen de manera asimptòticament geomètrica. En aquest cas, usant raonaments de monotonia i continuïtat, es poden indexar les òrbites periòdiques superestables i les òrbites homoclíniques, i ordenar els seus valors respecte el segon paràmetre. Aquests índexs permeten associar, a cada valor corresponent a l'existència d'una òrbita homoclínica, una successió de valors corresponents a bifurcacions sella-node que s'hi acumulen.

Amb aquests valors inicials, usem un mètode de continuació respecte el paràmetre de pertorbació per tal de calcular corbes corresponents a existència d'òrbites homocliniques i a bifurcacions sella-node en el pla de paràmetres. S'aconsegueix ampliar resultats anteriors d'altres autors respecte a l'existència de seqüències de punts cuspidals sobre aquestes corbes, en un cas de període 2. A causa de dificultats numèriques, només és possible calcular 4 corbes en aquest cas, i és per això que dirigim l'estudi a període 1, on és possible trobar-ne 7. Les simulacions numèriques fan pensar que aquestes seqüències, almenys en el cas de període 1, són finites, ja que només les 2 primeres corbes presenten 2 cusps, mentre que a partir de la tercera ja semblen totalment suaus. Encara més, l'aspecte de les corbes amb cusps o sense cusps presenta un aspecte qualitatiu bastant diferent. Això va en contra de l'opinió d'altres autors, que mantenen l'existència d'una infinitat de cusps que s'acumulen geomètricament.

Per a sortir de dubtes respecte als resultats numèrics, s'inicia un estudi analitic basat en pertorbació de les corbes homoclíniques. La quantitat d'equacions que cal tractar és elevada, a causa que els temps de vol de les solucions en cada subdominí no són calculables explícitament. Amb tot, és possible reduir la quantitat d'equacions i d'incògnites, de manera que el problema conceptualment més fàcil. S'índica quines comprovacions s'han de fer sobre punts de la corba homoclínica per a poder assegurar la finitud de cusps sobre les corbes sella-mode suficientment pròximes, i es mostren les dificultats que hi ha per a portar l'estudi anàlitic fins al final.

En el tercer capítol es construeix i s'estudia una família d'aplicacions bidimensionals definides sobre la reunió de dues corones circulars i que modelitza els resultats experimentals d'un cert dispositiu òptic. La família resultant és l'aplicació de Poincaré d'un model de bifurcació de Silnikov-Hopf, i té dos paràmetres essencials: un permet tenir òrbites homoclíniques í l'altre controla una bifurcació de Hopf. El signe d'aquest paràmetre separa, doncs, dues possibilitats qualitativament diferents: en un cas el fenomen de Silnikov està associat a un punt d 'equilibri tipus sella-focus, i en l'altre, a un cicle límit que ha nascut de la sella (la qual s'ha transformat en un punt repulsor). L'aspecte que més ens interessa és l'existència d'una gran diversitat d'atractors.
En primer lloc, es fa una anàlisi geomètrica de la faJru1ia, s'estudien les seves bifurcacions homoclíniques i periòdiques. Després, es recuperen i amplien els resultats experimentals. Això és possible gràcies al fet que el treball numèric amb el nostre model és molt més barat que el treball directe sobre les equacions en derivades parcials que governen el dispositiu original.

Tot seguit, es raonen les hipòtesis que cal afegir sobre els diversos paràmetres per tal que la família bidimensional es pugui aproximar bé per una família d'aplicacions del cercle definida explícitament de manera senzilla. Això no es pot fer sempre, i, de fet, deixem alguns casos de banda, ja que els que estudiem ja mostren prou complexitat.

L'estudi dels atractors en aquests model més simplificat respecte un paràmetre natural és molt més factible. A causa de la seva definició explícita senzilla, es poden donar resultats analítics respecte existència de bifurcacions periòdiques i a semblances amb l'aplicació logística. Encara més, es donen resultats quantitatius referents a la mesura relativa dels paràmetres per als quals existeixen atractors periòdics, atractors estranys petits o atractors estranys grossos (en el sentit que el seu suport sembla ser tota la circumferència); aquest últim és el cas més abundant, però els altres es donen també per a conjunts de mesura positiva.; This work contains three independent studies of two-dimensional maps using one-dimensional approximations.

In the first chapter we extend the following properties of one-dimensional endomorphisms to two-dimensional maps (close to them) or a special kind: hyperbolic periodic points and its stability, generic co-dimension one bifurcations (saddle-node and flip), validity or Hartman-Grobman theorem and continuous dependence or the conjugacy, smooth dependence or invariant manifolds, and transversal homoclinic points.

In the chapter 2 we study a system of 3 o.d.e which modelize an electronic circuit; it is piecewise linear, has 2 parameters and corresponds to a problem or singular pertorbation. The singular case (a parameter is 0) is studied using a one-dimensional Poincaré map, which has a countable number or discontinuities; we succeed in ordering the values or the second parameter which corresponds to existence or a superstable periodic orbit or a homoclinic periodic orbit. Then, we use a continuation method in order to obtain saddle-node bifurcation curves of the non-degenerate system in the parameter plane. We associate a sequency of these curves to each curve corresponding to existence of a homoclinic orbit, and we study (numerically and analytically) the existence of cuspidal points on these curves.

In the third chapter we study the attractors of a family or diffeomorphisms defined on two annulus, which serve as a model of certain optic device, and corresponds to a scenary of the Silnikov-Hopf bifurcation. We give the geometric properties of the maps, and we recover and extend the experimental results, where the attractor was a periodic orbit, a "small" strange attractor, or a "big" strange attractor. Then we justify (in some cases) the reduction to a more simplified model: a circle map defined explicitly by a very simple formula. Its study allows to explain the two- dimensional experimental results and also to obtain some quantitative estimations about relative measures (in a natural parameter) of the different kinds of attractors.

Qualitative analysis of the anisotropic Kepler problem

Tue, 12 Apr 2011 13:51:03 GMT

Qualitative analysis of the anisotropic Kepler problem Casasayas i Mas, Josefa The anisotropic Kepler problem was introduced by Gutzwiller as a classical mechanical system which approximates the following quantum mechanical system: the study of bound states of an electron near a donor impurity of a semiconductor.

As it is known the anisotropic Kepler problem exhibits many qualitative phenomena of interest in the theory of differential equations such as non-integrability and chaotic behaviour. This paper is essentially devoted to the qualitative analysis of this problem, and also surveys the recent techniques and results from it.

Interpolación compleja de operadores lineales

Tue, 12 Apr 2011 13:51:03 GMT

Interpolación compleja de operadores lineales Carro Rossell, María Jesús El primer resultado de interpolación de operadores data del año 1911 y es debido a I. Schur. Dos años más tarde, Young prueba un resultado del mismo tipo referente a espacios Lp y a un operador L La extensión de estos resultados a operadores lineales entre espacios Lp generales son los teoremas de Riesz-Thorin (Riesz en 1926 y Thorin, por el método complejo, en 1948) y Marcinkiewicz (usando el método real en 1939). La demostración de este último teorema, en su caso más general, es debida a Zygmund en el año 1956. En este año A. P. Calderón y Zygmund extienden los teoremas de interpolación al caso de operadores sublineales y, en el mismo año E. M. Stein demuestra un teorema de interpolación relativo a familias analíticas de operadores.

En la década de los 60, A. P. Calderón, J. L. Lions y J. Peetre desarrollan una teoría que incluye espacios de Banach abstractos y que generaliza los resultados anteriores. Esta teoría puede ser resumida del siguiente modo. Sean (Ao, AI) y (Bo, BI) dos pares compatibles de espacios de Banach (esto es, existen dos espacios vectoriales topológicos separados A y B tales que A0, A¿ están contenidos continuamente en A y B0, BI en B) y sea L : A » B un operador tal que su restricción a Ai da un operador continuo de AÍ en BÍ, (i = 0, l).

Un método de interpolación consiste en construir espacios de Banach A y B tales que se pueda considerar L: A » B lineal continuo (propiedad de interpolación). Existen dos diferentes puntos de vistas según que las técnicas empleadas sean de variable real o compleja. Según el caso, se llaman respectivamente método real (desarrollado por J. L. Lions, J. Peetre) y método complejo (desarrollado por J. L. Lions, A. P. Calderón). Esta memoria en concreto versa sobre este último método.

Evolution of Sex-Ratio in Structured Population Dynamics

Tue, 12 Apr 2011 13:51:02 GMT

Evolution of Sex-Ratio in Structured Population Dynamics Ripoll i Missé, Jordi In this Thesis we address the study of some non-linear evolution equations (e.g. pde's) modelling the dynamics of sexually-reproducing structured populations, with special emphasis on biological evolution driven by natural selection. The latter is incorporated into the models through the adaptive dynamics, which is a way of describing how the hereditary characteristics of the population evolve. The sex-ratio, defined as the proportion between females and males, is analyzed from the evolutionary point of view.

The memoir is divided into two parts plus a brief introduction to age-structured population dynamics (Chapter 1).

The first part (Chapter 2) is devoted to a model for the dynamics of a sequential hermaphrodite species, i.e. a population where every individual functions early in life as one sex (specfically as a female) and then switches to the other sex for the rest of its life, and the sex-reversal occurs at a specific age which is considered as a non-negative random variable. This phenomenon happens in a variety of animals including fish species like the sea bream ("Sparus aurata"), the anemone fish, the parrot fish and the blue-headed wrasse ("Thalassoma bifasciatum"). First of all we introduce the basic hypotheses and the parameters of the model: the probability law of the age at sex-reversal, the non-linear (due to the sexual reproduction) birth function giving the influx of newborns, and the density-dependent per capita mortality rate. The complete system (which displays the birth, transition and death processes) for the age-densities of females and males, is formulated and derived in the form of non-linear integral equations as well as the smooth version in the form of nonlocal non-linear first-order hyperbolic partial differential equations (partial integro-differential equations) with boundary, at age zero, and initial conditions. We take the former approach because of the lack of regularity in general, and in the latter, the derivative of the probability law appears in the transition term from female to male.

In Section 2.3 we show the existence and uniqueness of global solutions which are non-negative and biologically meaningful for the present model. We introduce additional hypotheses, namely, suitable Lipschitz conditions on the birth function and the mortality rate. In Section 2.4 we show that the system can be reduced to the intrinsic sex-ratio subspace where the dynamics is given by a single non-linear integral equation for the age-density of individuals of both sexes. An explicit form of the birth function, in terms of the fertility rates, is derived for latter numerical purposes. It corresponds to a Holling type II functional response, and it is based on the fact that females arrange its time in looking for mates and handling the production of new offspring. The expected searching time is proportional to 1-(number of males), whereas the expected handling time is a constant. Section 2.5 studies the asymptotic behaviour of the solutions as time tends to infinity. We have determined a sufficient condition for having bounded trajectories and the possibility of non-trivial dynamics. On the other hand we have seen that the extinction equilibrium is always locally asymptotically stable, displaying the Allee effect, which is a common feature of sexually reproducing populations.
In Section 2.6 we address the stationary problem, i.e. we look for solutions independent of time in L1 +. The non-trivial steady states are determined according to a scalar non-linear equation for the total population at equilibrium as an independent variable. We end the section by illustrating two cases. The first one is the (non-linear) case of neglecting the competition for the resources, obtaining that there is at most a non-trivial steady state which is always unstable. An explicit expression of this equilibrium is given, and the instability is obtained by means of a linearization procedure. The second case, which is rather general, includes some sort of competition and we have found two non-trivial equilibria for each value of the expected age at sex-reversal in a bounded open interval. Both cases are depicted in a bifurcation diagram, for two choices of the probability law (Heaviside/exponential).

The theory of accretive operators, i.e. those such that its resolvent operator is a non-expansive map, is needed in order to study the local stability of equilibria for the general case. A proof of the principle of linearized stability for the reduced system is given in Appendix A, and it is based on a principle for non-linear evolution equations governed by accretive operators, where the stability is determined by the accretiveness of an associated linear operator. In Section 2.7 we rewrite the reduced system as an evolution equation and introduce additional hypotheses, mainly, suitable conditions on the regularity of the birth function and the mortality rate. Finally we get a sufficient condition for the local stability without computing the spectrum of the linear part.

Considering phenotypic evolution in the context of diploid population models, in Section 2.8 we study the evolutionary dynamics of the age at sex-reversal. The function-valued trait considered is the probability law. We assume a resident population at stable equilibrium and consider a small invading/mutant population make up of heterozygotes, and homozygotes (negligible). We have used convex analysis in order to show that an unbeatable strategy or evolutionarily stable strategy (ESS) is a Heaviside step function: all individuals of the population change sex at the same age. More precisely, the computation of such an (infinite dimensional) strategy is based on linear/affine optimization on compact convex sets. Our result is a generalization of the one obtained by Charnov. Finally, Section 2.9 is devoted to the adaptive value of the sex-ratio of the population at equilibrium, which is in general different from one. However, if the fertilities are age independent then the sex-ratio equals to one. In addition, assuming also an age independent mortality we have that the transition from female to male takes place at 69,3% of the life expectancy of the population.

The second part (Chapter 3) is devoted to a model for the sexual phase of a haplodiploid species (monogonont rotifers) which exhibits the so-called cyclic parthenogenesis (both forms of reproduction: non-sexual and sexual). Monogonont rotifers are small micro-invertebrate animals who inhabit aquatic media with seasonal variations. The original system, which was introduced by Aparici, Carmona and Serra from the department of ecology at the Universitat de València, is formulated in the form of nonlocal non-linear first order hyperbolic partial differential equations. The state variables are the age-densities of virgin mictic females (male-producing), mated mictic females (resting egg-producing), and haploid males, whereas the time-independent parameters of the model are the per capita mortality rates, the male-female encounter rate, the recruitment rate of mictic females, the fertility of male-producing mictic females, the age at maturity for females, and the threshold age of fertilization (which is less than or equal to the maturation age). The transition from virgin to mated is given in terms of the characteristic function of the fertilization period and the total population of haploid males. The equation for mated females turns out to be uncoupled from the others, so we focus on the other ones. Scaling the units in age, time and population we have reduced the number of parameters to only four: the new mortality rates, the new threshold age of fertilization, and the new encounter rate. As a result, we obtain the reduced and nondimensionalized system.
Section 3.3 addresses the stationary problem, i.e. we look for time-independent solutions in W 1;1. We have found that there is a unique continuous steady state which can be written in terms of the total male population at equilibrium. The latter is obtained as the unique solution of a scalar non-linear equation.

Section 3.4 studies the local stability of the equilibrium by means of a linearization procedure. On the one hand, we analyze the characteristic equation obtaining complex solutions that cross the imaginary axis, and on the other hand we prove a principle of linearized stability which is based on a semilinear formulation in L1, and the fact that the essential growth bound is negative (as usual in this kind of equations). The linear stability analysis reveals that the equilibrium is stable for values of the parameters in a large region containing the empirical ones. However, it can be unstable for values not too far.

In Section 3.5 we apply a Hopf bifurcation theorem in an infinite dimensional setting. We check that there is a pair of conjugate eigenvalues on the imaginary axis which cross with positive speed. Rewriting the system as a non-linear evolution equation and computing both the adjoint and the resolvent operators (the latter solving a linear ode with piecewise constant coeffcients), we can determine if the bifurcation is subcritical or supercritical. As a result, we have shown the appearance of a stable limit cycle (isolated periodic orbit).

Section 3.6 is devoted to the numerical solution of the problem. We have designed an explicit numerical scheme based on both analytical and numerical integration along the characteristic curves. Several numerical experiments are presented. The numerical simulations confirm and extend the analytical results obtained.; En aquesta tesi abordem l'estudi d'algunes equacions d'evolució no lineals (e.g. edp's) que modelitzen la dinàmica de poblacions estructurades amb reproducció sexual, donant una èmfasi especial en l'evolució biològica conduïda per la selecció natural. Això últim s'incorpora en els models a través de la dinàmica adaptativa, que és una manera de descriure com evolucionen les característiques hereditàries de la població. La sex-ratio, definida com la proporció entre el número de femelles i mascles, és analitzada des del punt de vista evolutiu.

La memòria consta de dues parts més una breu introducció a la dinàmica de poblacions estructurades per l'edat (Capítol 1).

La primera part (Capítol 2) està dedicada a un model per a la dinàmica d'una espècie hermafrodita seqüencial, i. e. una població on cada individu comença la vida essent d'un sexe (concretament com a femella) i després canvia a l'altre per la resta de la seva vida, i el canvi de sexe es produeix en una edat específica la qual és considerada com a una variable aleatòria no negativa. Aquest fenomen ha estat observat en diversos animals incloent-hi espècies de peixos com l'orada (Sparus aurata), el peix anèmona, el peix lloro i el làbrid de cap blau (Thalassoma bifasciatum). Primer de tot introduïm les hipòtesis bàsiques i els paràmetres del model: la llei de probabilitat de l'edat del canvi, el funcional no lineal (degut a la reproducció sexual) que dóna el número de naixements per unitat de temps (funció de naixença), i la taxa de mortalitat per càpita que depèn de la densitat de població. El sistema complet (que exhibeix els processos de naixement, transició i mort) per les densitats en edat de femelles i mascles, és formulat i deduït en la forma d'equacions integrals no lineals, així com també la versió regular en la forma d'equacions en derivades parcials hiperbòliques de primer ordre no lineals no locals amb condicions de frontera, a edat zero, i inicials. Prenem la primera formulació degut a la falta de regularitat en general, i en la segona, la derivada de la llei de probabilitat apareix en el terme de transició de femella a mascle.

En la Secció 2.3 provem l'existència i unicitat de solucions globals que són no negatives i amb sentit biològic per al present model. Introduïm hipòtesis addicionals, a saber, condicions de Lipschitz adequades sobre la funció de naixença i la taxa de mortalitat. En la Secció 2.4 provem que el sistema es pot reduir al subespai de la sex-ratio intrínseca on la dinàmica ve descrita per una sola equació integral no lineal per la densitat en edat d'individus d'ambdós sexes. Una forma explícita de la funció de naixença, en termes de les taxes de fertilitat, es deduïda per a implementacions numèriques posteriors. Aquesta forma es correspon a una resposta funcional de Holling de tipus II i es basa en el fet que les femelles reparteixen el seu temps en buscar parella i en produir nous descendents. El temps esperat de cerca és proporcional a 1/(número de mascles), mentre que el temps esperat de producció de descendència és una constant.

La Secció 2.5 estudia el comportament asimptòtic de les solucions quan el temps tendeix a infinit. Hem determinat una condició suficient per a poder tenir trajectòries acotades i la possibilitat de dinàmica no trivial. Per altra banda, hem vist també que l'equilibri d'extinció és sempre localment asimptoticament estable, mostrant l'efecte Allee, el qual és una característica típica en poblacions amb reproducció sexual.

En la Secció 2.6 abordem el problema estacionari, i.e. busquem solucions independents del temps en L1+. Els estats d'equilibri no trivials venen determinats per una equació escalar no lineal per a la població total en equilibri com a variable independent. Tanquem la secció il.lustrant dos casos. El primer és el cas (no lineal) sense competència pels recursos, obtenint que com a molt hi ha un equilibri no trivial el qual és sempre inestable. S'arriba a una expressió explícita per l'equilibri, i la inestabilitat s'obté per mitjà d'un procés de linealització. El segon cas, el qual és bastant general, inclou un cert tipus de competència i hem trobat que hi ha dos equilibris no trivials per a cada valor de l'edat esperada del canvi en un interval obert acotat. Ambdós casos son representats en un diagrama de bifurcació, per a dos tipus de llei de probabilitat (Heaviside/exponencial).

La teoria dels operadors acretius, i.e. aquells que el seu operador resolvent es una aplicació no expansiva, es necessària per estudiar l'estabilitat local dels equilibris del cas general. En l'Apèndix A es demostra la validesa del principi d'estabilitat lineal per al sistema reduït. La demostració es basa en un principi per a equacions d'evolució o no lineals governades per operadors acretius, on l'estabilitat ve determinada per l'acretivitat d'un operador lineal associat. En la Secció 2.7 reescrivim el sistema reduït com a una equació d'evolució i introduïm hipòtesis addicionals, essencialment, condicions adequades sobre la regularitat de la funció de naixença i la taxa de mortalitat. Finalment obtenim una condició suficient per l'estabilitat local sense calcular l'espectre de la part lineal.

La Secció 2.8 estudia la dinàmica evolutiva de l'edat del canvi considerant evolució fenotípica en models de poblacions diploides. Prenem com a variable evolutiva de dimensió infinita la llei de probabilitat. Suposem una població resident en equilibri estable i considerem una població invasora/mutant petita formada per heterozigots, i homozigots (negligible). Hem usat anàlisi convexa per a provar que una estratègia invencible o estratègia evolutivament estable (ESS) és una funció de Heaviside: tots els individus de la població o canvien de sexe a la mateixa edat. Més concretament, el càlcul d'una estratègia tal es basa en optimització lineal/afí sobre conjunts compactes i convexos. El nostre resultat generalitza l'obtingut per Charnov. Finalment, la Secció 2.9 tracta del valor adaptatiu de la sex-ratio de la població en equilibri, el qual és en general diferent d'u. No obstant, si les fertilitats no depenen de l'edat dels individus llavors la sex-ratio és igual a u. A més, suposant també una mortalitat independent de l'edat hem trobat que la transició de femella a mascle es produeix en el 69,3% de l'esperança de vida de la població.

La segona part (Capítol 3) està dedicada a un model per a la fase sexual d'una espècie haplodiploide (Rotífers monogononts) que exhibeix l'anomenada partenogènesi cíclica (ambdues formes de reproducció asexual i sexual). Els rotífers monogononts són petits animals micro-invertebrats que viuen en medis aquàtics amb variacions estacionals. El sistema original, el qual va ser introduït per Aparici, Carmona i Serra del Departament d'Ecologia de la Universitat de València, és formulat en la forma d'equacions en derivades parcials hiperbòliques de primer ordre no lineals no locals. Les variables d'estat són les densitats en edat de femelles míctiques verges (productores de mascles), femelles míctiques fecundades (productores d'ous de resistència) i mascles haploides, mentre que els paràmetres, independents del temps, del model són les taxes de mortalitat per càpita, la taxa d'encontres mascle-femella, la taxa d'entrada (reclutament) de femelles míctiques, la fertilitat de les femelles míctiques productores de mascles, l'edat de maduració de les femelles, i el llindar per l'edat de fecundació (el qual és més petit o igual que l'edat de maduració). La transició de verge a fecundada ve donada en termes de la funció característica de l'interval de fecundació i de la població total de mascles haploides. L'equació per a les femelles fecundades resulta estar desacoblada de les altres, per tant ens centrem en les altres dues. Fent un canvi d'unitats en edat, o hem reduït el número de paràmetres a tan sols quatre: les noves taxes de mortalitat, el nou llindar per l'edat de fecundació, i la nova taxa d'encontres. Com a resultat, obtenim el sistema reduït i adimensional.

La Secció 3.3 aborda el problema estacionari, i.e. busquem solucions independents del temps en W 1,1. Hem trobat que hi ha un únic estat d'equilibri continu el qual es pot escriure en funció de la població total de mascles en equilibri. Això últim s'obté com a única solució d'una equació escalar no lineal.

La Secció 3.4 estudia l'estabilitat local de l'equilibri per mitjà d'un procés de linealització. Per una banda analitzem la corresponent equació característica obtenint solucions complexes que creuen l'eix imaginari, i per altra banda provem la validesa del principi d'estabilitat lineal el qual està basat en una formulació semilineal en L1, i en el fet que la cota de creixement essencial es negativa (com és habitual en aquest tipus d'equacions). L'anàlisi de l'estabilitat lineal revela que l'equilibri és estable per valors dels paràmetres en una àmplia regió que conté els valors empírics. No obstant, pot ser inestable per valors no massa llunyans.

En la Secció 3.5 apliquem un teorema de bifurcació de Hopf en un context de dimensió infinita. Comprovem que hi ha un parell de valors propis conjugats sobre l'eix imaginari que creuen amb velocitat positiva. Reescrivint el sistema com a una equació no lineal i calculant l'operador adjunt i l'operador resolvent (aquest últim resolent una edo lineal amb coeficients constants a trossos), podem determinar si la bifurcació és subcrítica o supercrítica. Com a resultat, hem demostrat l'aparició d'un cicle límit estable (òrbita periòdica isolada).

La Secció 3.6 està dedicada a la solució numèrica del problema. Hem dissenyat un esquema numèric explícit basat en integració analítica i numèrica al llarg de les corbes característiques. Diversos experiments numèrics són portats a terme. Les simulacions numèriques corroboren i amplien els resultats analítics obtinguts.

On the Meromorphic Non-Integrability of Some Problems in Celestial Mechanics

Tue, 12 Apr 2011 13:51:02 GMT

On the Meromorphic Non-Integrability of Some Problems in Celestial Mechanics Simon i Estrada, Sergi In this thesis, we present a proof of the meromorphic non-integrability for some problems arising from Celestial Mechanics, as well as a new necessary condition for partial integrability in a wider Hamiltonian setting. First of all, a simpler proof is added to those already existing for the Three-Body Problem with arbitrary masses. The N-Body Problem with equal masses is also proven non-integrable. Second of all, a further strengthening of a prior existing result allows us to detect obstructions to the existence of a single additional first integral for classical Hamiltonians with a homogeneous potential. Third of all, using the aforementioned new result, we have proven the non-existence of an additional integral both for the general Three-Body Problem (hence generalizing, in a certain sense, Bruns'Theorem) and for the equal-mass Problem for N=4,5,6. Fourth of all, finally, we have proven the non-integrability of Hill's problem using the most general instance of the Morales-Ramis Theorem.

A varying degree of theoretical complexity was involved in these results. Indeed, the proofs involving the given instances of the N-Body Problem required nothing but the exploration of the eigenvalues of a given matrix, with the advantage of knowing four of them explicitly. Thus, not all variational equations were needed but those not corresponding to these four eigenvalues -- this is exactly what transpires from the system reduction and subsequent introduction of normal variational equations, as done by S. Ziglin, J. J. Morales-Ruiz, J.-P. Ramis, and others. Hill's Problem, however, required the whole variational system since only thanks to the special functions introduced in the process of variation of constants was it possible to assure the presence of obstructions to integrability.

These results appear to qualify differential Galois theory, and especially a new incipient theory stemming from it, as an amenable setting for the detection of obstructions to total and partial Hamiltonian integrability.

Intervals de marques

Tue, 12 Apr 2011 13:51:01 GMT

Intervals de marques Jorba Jorba, Lambert El sistema de les marques s'enquadra dins del camp de l'anàlisi intervalar modal.
En aquest context la tesi aporta un estudi de les operacions lineals, de la seva semàntica i sobretot de la seva operativitat quan les operacions es fan en un context no exacte com en el cas de les aritmètiques digitals. Aquest estudi de la operativitat conclou amb la necessitat d'establir un nou sistema intervalar que resolgui la problemàtica de la truncació en les operacions lineals, sistema que a la vegada resoldria el problema de la interpretació semàntica quan una mateixa variable apareix amb doble modalitat.
El sistema que ens resol aquesta situació l'hem anomenat sistema de les marques i el mètode utilitzat ha sigut considerar els elements de qualsevol escala digital com intervals d'indiscernibilitat al voltant d'un punt: les marques.
Sobre el conjunt de les marques es refineixen les relacions d'igualtat i desigualtat i es fa un estudi de les operacions elementals entre marques i també de la semàntica que es desprén de les operacions.
El fet de poder considerar els elements de qualsevol escala digital com un interval d'indiscernibilitat ens ha permès també, que poguessim considerar qualsevol element d'una escala de mesura com una marca i que aquest nou sistema ens permetés de representar de forma fiable aquests elements.
A la vegada obrim la porta a un nou tractament intervalar: el de la indiscernibilitat. Aquest nou tractament complementa la teoria intervalar modal.
Finalment s'ha completat el conjunt dels intervals modals considerant que els seus extrems podíen ser marques, construint els que hem anomenat intervals de marques, dels que n'hem estudiat les relacions i la seva operativitat.
Amb els intervals de marques es resol el problema que ens plantejava el context lineal i a la vegada ens obre la possibilitat d'efectuar els càlculs intervalars sense els problemes habituals que comporta la truncació.

Estabilitat efectiva i tors invariants de sistemes hamiltonians quasi-integrables

Tue, 12 Apr 2011 13:51:01 GMT

Estabilitat efectiva i tors invariants de sistemes hamiltonians quasi-integrables Gutiérrez i Serrés, Pere La memòria recull contribucions a diversos aspectes del problema de l'estabilitat en sistemes hamiltonians quasi-integrables. Aquests aspectes inclouen resultats d'estabilitat efectiva, que comporten el confinament de trajectòries durant un interval de temps molt gran, i també resultats que estableixen l'existència de tors invariants, entre els quals distingim els tors KAM i tors de dimensió inferior.

Considerem un sistema hamiltonià quasi-integrable, amb n graus de llibertat, en el qual la mida de la pertorbació és "Epsilon". Malgrat la possibilitat de difusió en aquest tipus de sistemes, els teoremes de Nekhoroshev i KAM (Kolmogorov-Arnol'd-Moser) són resultats molt valuosos que asseguren certs tipus d'estabilitat. Amb tot, les proves habituals d'aquests teoremes no posen en relleu la profunda relació que existeix entre els diferents tipus d'estabilitat a què donen lloc. Gran part de la memòria és dedicada doncs a donar un enfocament unificat per als dos teoremes.

Després d'un capítol d'introducció, al capítol 2 descrivim el mètode seguit per a la prova d'ambdós teoremes, consistent a construir iterativament una transformació canònica que porti el hamiltonià de partida a una forma normal que depengui de menys angles. Per a l'obtenció de la forma normal fem ús del formalisme de les sèries de Lie, que descrivim a la secció 2.1. Aquest és un procediment molt apropiat per a aplicacions pràctiques, perquè permet dur a terme càlculs explícits en exemples concrets, i pot ésser directament implementat en ordinadors. Per tal d'evitar l'efecte causat pels petits divisors, prop de la ressonància associada a un mòdul fixat acceptem que la forma normal pugui dependre de certes combinacions d'angles. De fet només cal considerar ressonàncies fins a un ordre finit apropiat, ja que l'efecte de les ressonàncies d'ordre més alt és exponencialment petit. Basant-nos en el mètode de les sèries de Lie, construïm el procés iteratiu, el qual és finit en la prova del teorema de Nekhoroshev i infinit per al teorema KAM (en aquest darrer cas, sempre prenem el mòdul nul). De fet, descrivim un algorisme lineal i un de quadràtic. Tot i que l'algorisme lineal és d'aparença més senzilla, mostrem que el càlcul explícit de la forma normal podria ésser una mica més ràpid usant l'algorisme quadràtic.

A les seccions 2.3 i 2.4 obtenim les versions lineal i quadràtica del lema iteratiu, que ens donen les fites per a un pas concret del procés iteratiu en cadascun dels dos algorismes. Utilitzem una norma per a camps vectorials hamiltonians (introduïda a la secció 2.2), la qual ens permet d'optimitzar les fites respecte les d'altres autors. Duent a terme un nombre adequat de passos, i aplicant reiteradament el lema iteratiu (en qualsevol de les seves dues versions), obtenim a la secció 2.5 el teorema de la forma normal, en el qual la fita de la resta és exponencialment petita. La prova d'aquest resultat esdevé molt simple degut al fet que el lema iteratiu ha estat optimitzat.

Al capítol 3 obtenim, a partir del teorema de la forma normal, la prova del teorema de Nekhoroshev en el cas quasiconvex. En primer lloc, donem a les seccions 3.1 i 3.2 fites d'estabilitat vàlides sobre regions no ressonants i regions ressonants, respectivament (per al cas ressonant imposem la condició de quasiconvexitat). A la secció 3.3 recobrim tot l'espai de fases amb una família de conjunts, que reben el nom de blocs, associats a diferents mòduls de ressonàncies. Així obtenim a la secció 3.4 un temps d'estabilitat exponencialment gran en 1/Epsilon. per a totes les trajectòries, completant la prova del teorema de Nekhoroshev amb l'exponent òptim 1/2n.

Obtenim també al capítol 3 altres resultats sobre estabilitat efectiva. Hem considerat a la secció 3.1 una pertorbació d'un sistema de n oscil·ladors harmònics amb freqüències satisfent una condició diofàntica. En aquest cas l'exponent de les fites és 1/(Tau + 1), essent Tau l'exponent de la condició diofàntica. A la secció 3.5 veiem que podem millorar les fites de Nekhoroshev si ens restringim a un entorn de la ressonància associada a un mòdul fixat, i obtenim uns exponents d'estabilitat particulars, que depenen de la dimensió del mòdul. A més, apliquem aquestes fites al conegut exemple d'Arnol'd.

Al capítol 4 provem la versió isoenergèica de teorema KAM de manera directa sense usar aplicació de Poincaré) i introduïm la noció de tor quasi-invariant. Comencem veient a la secció 4.1 les dificultats que sorgeixen en el cas isoenergètic, i les resolem amb els lemes tècnics que donem a la secció 4.2. El mètode iteratiu que usem per a provar el teorema KAM isoenergètic és paral·lel, en línies generals, al que usa Arnol'd en el cas ordinari. A la secció 4.3 donem fites per a un pas concret del procés a partir del lema iteratiu. A la secció 4.4 completem la prova del teorema KAM isoenergètic, veient que les restes tendeixen ràpidament cap a zero i obtenint tors invariants n-dimensionals (tors KAM), però només sobre un conjunt cantorià que ve donat per freqüències diofàntiques.

A més, obtenim a la secció 4.5 un resultat d'estabilitat que constitueix un pont entre els teoremes KAM i de Nekhoroshev. Cal considerar les freqüències que satisfan aproximadament una condició diofàntica, fins una precisió donada r. Aquestes freqüències donen lloc a tors quasi-invariants, noció que expressa que les trajectòries que parteixen d'un d'aquests tors hi romanen a prop durant un temps exponencialment gran en 1/r. Així, la precisió r passa a constituir el paràmetre de pertorbació (per a r = 0 tenim els tors KAM). Obtenim aquest resultat dins del mateix esquema iteratiu usat per al teorema KAM però aturant-lo en el moment adequat, en comptes de dur-lo fins al límit. El resultat és molt proper, des del punt de vista quantitatiu, al teorema KAM. Qualitativament, sacrifiquem l'estabilitat perpètua dels tors KAM però, en canvi, tenim un resultat més significatiu des del punt de vista pràctic, ja que per tal d'associar un tor quasi-invariant a una freqüència donada només cal comprovar la condició diofàntica aproximadament. Aquest resultat és lleugerament diferent dels d'altres autors, que estableixen que els tors KAM són "enganxosos" (prenent com a paràmetre la distància a un tor KAM fixat). El nostre resultat és més útil a la pràctica, car no requerim l'existència prèvia d'un tor KAM.

Estudiem a la secció 4.6 l'existència de tors invariants per a un hamiltonià a l'entorn d'un punt fix el·líptic. Sota les condicions adequades, el teorema KAM ens diu que en un entorn de radi r existeix un gran nombre de tors invariants. Fins i tot, si les freqüències del punt el·líptic satisfan una condició diofàntica, llavors la mesura del complementari dels tors invariants és exponencialment petita en 1/r.

Al capítol 5 estudiem els tors invariants de dimensió inferior prop de la ressonància associada a un mòdul de dimensió d < n. La localització d'aquests tors, especialment els tors hiperbòlics, és important com a primer pas per a establir l'existència de difusió d'Arnol'd al llarg d'una cadena de transició. En primer lloc, posem el hamiltonià en forma normal respecte el mòdul fixat i la resta és petita. Fent un canvi canònic lineal (secció 5.2), podem suposar que la part en forma normal només depèn de d angles. Menyspreant la resta, fem un estudi de la forma normal, la qual constitueix un sistema intermedi entre el hamiltonià no pertorbat i el hamiltonià pertorbat. A la secció 5.1 donem condicions per tal que la forma normal tingui tors invariants de dimensio n-d, els quals poden ésser el·líptics, hiperbòlics i d'altres categories. Considerem a la secció 5.3 el cas d'una ressonància simple (d=1), en el qual la forma normal és integrable i per tant podem dur a terme un estudi complet de les varietats invariants dels tors hiperbòlics i les connexions homoclíniques que tenen lloc. Remarquem que, si bé l'existència dels tors hiperbòlics per al sistema original ha estat establerta per altres autors, cal esperar que aquests tors es trobin molt a prop dels de la forma normal si aquesta ha estat obtinguda fins un ordre prou alt. Llavors podem obtenir més informació sobre les varietats invariants.; The main results concerning stability in nearly-integrable Hamiltonian systems are revisited: Nekhoroshev theorem (effective stability) and KAM theorem (existence of invariant tori). We prove both theorems using a common method, which allows to stress the close relationship between them.

The method consists of bringing our Hamiltonian to normal form using an iterative procedure based on Lie series. We describe two algorithms (linear and quadratic) which can both be directly implemented in computers. To give estimates for the remainder of the normal form along the iterative process, we use a vectorfield norm which allows to optimize the estimates.

Iterating these estimates an appropiate (finite) number of steps, we get an exponentially small remainder. Assuming quasiconvexity, we get Nekhoroshev theorem (with the optimal exponent). Further results on effective stability are also obtained.

We prove the isoenergetic version of KAM theorem in a direct way (without using a Poincaré map). In this case, in order to make the remainder tend to zero, we consider an infinite iterative process. In this way the majority of trajectories lie in invariant tori, but these tori fill a Cantorian set given by Diophantine frequencies. Moreover, we introduce the notion of nearly-invariant torus by stopping the process at an appropiate step. We associate a nearly-invariant torus to the frequencies satisfying, up to a given precision, a Diophantine condition (the precision becomes the parameter of perturbation). We also prove the existence of a large number of invariant tori near an elliptic fixed point with Diophantine frequencies: we give for the complement of the invariant tori an exponentially small estimate.

Finally, we study low dimensional tori near resonances and the invariant manifolds of hyperbolic tori near simple resonances. This constitutes a first step towards finding Arnol'd diffusion in nearly-integrable Hamiltonian systems.

Contribution to the Study of Fourier Methods for Quasi-Periodical Functions and the Vicinity of the Collinear Libration Points

Tue, 12 Apr 2011 13:51:00 GMT

Contribution to the Study of Fourier Methods for Quasi-Periodical Functions and the Vicinity of the Collinear Libration Points Mondelo González, José María This works has been organized in three parts. The first (Chapter 1 to 5) is dedicated to the development and study of a procedure for the accurate computation of frequencies, as well ans the related Fourier coefficients, of a quasi-periodical funcition. The second part of the work (Chapters 6 to 7) is devoted to the study to the dynamics in the vicinity of the collinear equilibrium points of the three-dimensional RTBP fo the Earth-Moon mass parameter. The third part consists in several appendices, which give some additional results that have been taken apart from the main text in order to improve its readability.