TDX/TDR - Departament d'Algebra i Geometria

Homotopical Aspects of Mixed Hodge Theory

Thu, 04 Apr 2013 07:54:49 GMT

Homotopical Aspects of Mixed Hodge Theory Cirici, Joana In the present work, we analyse the categories of mixed Hodge complexes and mixed Hodge diagrams of differential graded algebras in these two directions: we prove the existence of both a Cartan-Eilenberg structure, via the construction of cofibrant minimal models, and a cohomological descent structure. This allows to interpret the results of Deligne, Beilinson, Morgan and Navarro within a common homotopical framework. In the additive context of mixed Hodge complexes we recover Beilinson's results. In our study we go a little further and show that the homotopy category of mixed Hodge complexes, and the derived category of mixed Hodge structures are equivalent to a third category whose objects are graded mixed Hodge structures and whose morphisms are certain homotopy classes, which are easier to manipulate. In particular, we obtain a description of the morphisms in the homotopy category in terms of morphisms and extensions of mixed Hodge structures, and recover the results of Carlson [Car80] in this area. As for the multiplicative analogue, we show that every mixed Hodge diagram can be represented by a mixed Hodge algebra which is Sullivan minimal, and establish a multiplicative version of Beilinson's Theorem. This provides an alternative to Morgan's construction. The main difference between the two approaches is that Morgan uses ad hoc constructions of models à la Sullivan, specially designed for mixed Hodge theory, while we follow the line of Quillen's model categories or Cartan-Eilenberg categories, in which the main results are expressed in terms of equivalences of homotopy categories, and the existence of certain derived functors. In particular, we obtain not only a description of mixed Hodge diagrams in terms of Sullivan minimal algebras, but we also have a description of the morphisms in the homotopy category in terms of certain homotopy classes, parallel to the additive case. In addition, our approach generalizes to broader settings, such as the study of compactificable analytic spaces, for which the Hodge and weight filtrations can be defined, but do not satisfy the properties of mixed Hodge theory. Combining these results with Navarro's functorial construction of mixed Hodge diagrams, and using the cohomological descent structure defined via the Thom-Whitney simple, we obtain a more precise and alternative proof of that the rational homotopy type, and the rational homotopy groups of every simply connected complex algebraic variety inherit functorial mixed Hodge structures. As an application, and extending the Formality Theorem of Deligne-Griffiths-Morgan-Sullivan for compact Kähler varieties and the results of Morgan for open smooth varieties, we prove that every simply connected complex algebraic variety (possibly open and singular) and every morphism between such varieties is filtered formal: its rational homotopy type is entirely determined by the first term of the spectral sequence associated with the multiplicative weight filtration.; En aquest treball, analitzem les categories de complexos de Hodge mixtos i de diagrames de Hodge d'àlgebres diferencials graduades en aquestes dues direccions: provem l'existència d'una estructura de Cartan-Eilenberg, via la construcció de models cofibrants minimals, i d'una estructura de descens cohomològic. Aquest estudi permet interpretar els resultats de Deligne, Beilinson, Morgan i Navarro en un marc homotòpic comú.

Some Generalized Fermat-type Equations via Q-Curves and Modularity

Wed, 31 Oct 2012 12:54:18 GMT

Some Generalized Fermat-type Equations via Q-Curves and Modularity Barroso de Freitas, Nuno Ricardo The main purpose of this thesis is to apply the modular approach to Diophantine equations to study some Fermat-type equations of signature (r; r; p) with r >/= 5 a fixed prime and “p” varying. In particular, we will study equations of the form x(r) + y(r) = Cz(p), where C is an integer divisible only by primes “q” is non-identical to 1; 0 (mod “r”) and obtain explicit arithmetic results for “r” = 5, 7, 13. We start with equations of the form x(5) + y(5) = Cz(p). Firstly, we attach two Frey curves E; F defined over Q(square root 5) to putative solutions of the equation. Then by using the work of J. Quer on embedding problems and on abelian varieties attached to Q-curves we prove that the p-adic Galois representations attached to E, F can be extended to p-adic representations E), (F) of Gal(Q=Q). Finally, we apply Serre's conjecture to the residual representations  (E), (F) and using Siksek's multi-Frey technique we conclude that the initial solution can not exist. We also describe a general method for attacking infinitely many equations of the form x(r) + y(r) = Cz(p) for all r>/= 7. The method makes use of elliptic curves over totally real fields, modularity and irreducibility results for representations attached to elliptic curves and level lowering theorems for Hilbert modular forms. Indeed, for each fixed “r” we produce several Frey curves defined over K+, the maximal totally real subfield of Q(xi-r). Moreover, if “r” is of the form 6k + 1 we prove the existence of a Frey curve defined over K(0) the subfield of K(+) of degree k. We prove also an irreducibility result for the mod “p” representations attached to certain elliptic curves and a modularity statement for elliptic curves over totally real abelian number fields satisfying some local conditions at 3. Finally, for r = 7 and r = 13 we are able to compute the required spaces of (Hilbert) newforms and by applying our general methods we obtain explicit arithmetic results for equations of signature (7; 7; p) and (13; 13; p). We end by providing two more Frey k-curves (a generalization of Q-curve), where “k” is a certain subfield of K(+), when “r” is a fixed prime of the form 4m+1.; En esta tesis, utilizaremos el método modular para profundizar en el estudio de las ecuaciones de tipo (r; r; p) para r un primo fijado. Empezamos por utilizar la teoría de J. Quer sobre variedades abelianas asociadas con Q-curvas y embedding problems para producir dos curvas de Frey asociadas con hipotéticas soluciones de infinitas ecuaciones de tipo (5; 5; p). Después, utilizando la conjetura de Serre y el método multi-Frey de Siksek demostraremos que las hipotéticas soluciones no pueden existir. Describiremos también un método general que nos permite atacar un número infinito de ecuaciones de tipo (r; r; p) para cada primo “r” mayor o igual que 7. El método hace uso de curvas elípticas sobre cuerpos de números, teoremas de modularidad, teoremas de bajada de nivel y formas modulares de Hilbert. Además, para ecuaciones de tipo (7; 7; p) y (13; 13; p) calcularemos los espacios de formas modulares relevantes y demostraremos que una familia infinita de ecuaciones no admite cierto tipo de soluciones. Además, demostraremos un nuevo teorema de modularidad para curvas elípticas sobre cuerpos totalmente reales abelianos. Finalmente, para primos congruentes con 1 módulo 4 propondremos dos curvas de Frey más. Demostraremos que son “k-curves” (una generalización de Q-curva) y también que satisfacen las propiedades necesarias para que pueda ser útiles en la aplicación del método modular.

On the diagonals of a Rees algebra

Thu, 26 Jan 2012 10:44:15 GMT

On the diagonals of a Rees algebra Lavila Vidal, Olga The aim of this work is to study the ring-theoretic properties of the diagonals of a Rees algebra, which from a geometric point of view are the homogenous coordinate rings of embeddings of blow-ups of projective varieties along a subvariety. First we are going to introduce the subject and the main problems. After that we shall review the known results about these problems, and finally we will give a summary of the contents and results obtained in this work.; L’objectiu d’aquesta memòria és l’estudi de les propietats aritmètiques de les diagonals d’una àlgebra de Rees o, des d’un punt de vista geomètric, dels anells de coordenades homogenis d’immersions d’explosions de varietats projectives al llarg d’una subvarietat. En primer lloc, anem a introduir el tema i els principals problemes que tractarem. A continuació, exposarem els resultats coneguts sobre aquests problemes i finalment farem un resum dels resultats obtinguts en aquesta memòria.

Foliacions totalment geodèsiques de codimensió 1 i camps de Killing

Tue, 12 Jul 2011 09:10:50 GMT

Foliacions totalment geodèsiques de codimensió 1 i camps de Killing Ras, Antoni Aquest treball es refereix a foliacions i camps de Killing. Les foliacions, com a part individualitzada dins la Geometria Diferencial, pot considerarse que neixen a partir de la teoria dels sistemes dinàmics en varietats i de la teoria de connexions en fibrats desenvolupada per Ch. Ehresmann i G. Reeb entre 1940 i 1960. Resultats d'aquesta disciplina s'utilitzen en camps com ara sistemes d'equacions diferencials, termodinàmica, teoria del control…

Polígonos de Newton de orden superior y aplicaciones aritméticas

Tue, 14 Jun 2011 11:38:53 GMT

Polígonos de Newton de orden superior y aplicaciones aritméticas Montes Peral, Jesús La teoría algebraica de números tiene sus inicios en los trabajos de Kummer sobre la ecuación de Fermat. En los anillos ciclotómicos deja de ser cierto el teorema fundamental de la aritmética: los elementos descomponen en producto de elementos "primos", pero no de manera única. Kummer, en una intuición genial, apuntó que esta dificultad podía salvarse considerando la existencia de números ideales que permitirían recuperar la unicidad en la descomposición en producto de números ideales primos. Estas ideas las culminó Dedekind en 1878 fundando la teoría de ideales tal como la conocemos hoy en día. Los anillos de enteros de los cuerpos de números son dominios de Dedekind, es decir, todo ideal descompone de manera única en producto de ideales primos. No obstante, la teoría de Dedekind no es efectiva. Cuando nos enfrentamos a un problema concreto, como por ejemplo resolver una ecuación diofántica, que exige considerar un cuerpo de números “K”, de anillo de enteros “O”, necesitamos resolver en general dos cuestiones fundamentales: (a) Determinar el tipo de descomposición pO = p(e1/) …… p(e/g) de los primos racionales en “K”. (b) Determinar generadores de los ideales P(1). Usualmente querremos computar estos datos a partir de una ecuación definidora del cuerpo K. Este aspecto efectivo lo cubre parcialmente Dedekind, usando ideas de Kummer, permitiendo resolver las dos cuestiones para todos los primos “p” excepto un número finito. El siguiente paso, extraordinariamente importante tanto desde un punto de vista conceptual como de la efectividad, lo da Rensel, con la introducción de los cuerpos p-ádicos. Esta idea revolucionaria permite "descomponer" los problemas aritméticos globales en una suma de problemas locales, donde se focaliza la atención en los fenómenos que afectan a un primo concreto ”p”. Esta filosofía da como resultado práctico que el problema de la efectividad puede resolverse mediante técnicas locales que comportan esencialmente la factorización de polinomios en cuerpos p-ádicos (que se traduce en la práctica en factorizar módulo una potencia suficientemente alta de p) y la determinación de bases de enteros de órdenes locales. Utilizando distintas variantes de estas ideas se han obtenido diversos algoritmos para hallar la descomposición en producto de ideales primos. Destaquemos los de Pohst-Zassenhaus, Boffgen-Reichert y Buchmann-Lenstra. El objetivo principal de la memoria es el de desarrollar un nuevo algoritmo, basado en la técnica del polígono de Newton. El polígono de Newton se utilizó en el siglo pasado para estudiar las singularidades de curvas planas. En 1907 Bauer reconvirtió la técnica para su aplicación a cuestiones aritméticas; sus propuestas fueron extensamente ampliadas por Ore, quien en una serie de artículos en los años 20, introduce un concepto más general de polígono, el q)(X)-polígono, que permite tratar el caso en que los factores irreducibles de F(X) no son necesariamente lineales. En la terminología clásica, la aplicación estricta del polígono (Bauer-Ore) es conocida como la "segunda aproximación", mientras que la información extra que obtiene Ore de cada lado se bautizó como la "tercera aproximación" (el teorema de Kummer-Dedekind) era la "primera aproximación". Esas aproximaciones han sido mejoradas y generalizadas por distintos autores; por ejemplo, Ore puso en un contexto más general la segunda aproximación inicial de Bauer, ó Montes-Nart refinaron la tercera aproximación. Ahora bien, los autores clásicos ya eran conscientes de que por mucho que se refinaran esas aproximaciones, siempre quedarían polinomios para los cuales todavía no se obtiene la respuesta definitiva. También intuían que debería ser posible introducir aproximaciones de más alto nivel que permitieran resolver la cuestión para cualquier polinomio en un proceso iterativo finito. Ésa es precisamente la cuestión que resolvemos en la memoria con nuestros polígonos de orden superior. Pasamos a describir brevemente el contenido de los distintos capítulos de la memoria. En el capítulo 1 se exponen los principales resultados de Ore sobre el polígono de Newton trasladados al contexto de cuerpos locales. Se distinguen cuatro fases distintas, cada una culminando con un resultado clave que denominamos respectivamente teorema del producto (de carácter instrumental), del polígono (segunda aproximación), del polinomio asociado (tercera aproximación) y del índice. El conjunto de estas fases constituye lo que llamamos el nivel 1 ó orden 1. Cada fase marca los distintos obstáculos que será necesario superar en cada nivel con los polígonos de orden superior. Este es el objetivo del segundo capítulo, que constituye el núcleo principal de la memoria. Dentro del segundo capítulo merecen mención especial las definiciones del polígono y del polinomio asociado en orden r. La definición correcta de "polígono a otro nivel" requiere considerar extensiones adecuadas de la valoración p-ádica al anillo de polinomios, marcadas por datos proporcionados por el polígono de orden anterior. Valoraciones de este tipo fueron introducidas por MacLane también con el propósito de obtener un algoritmo para determinar la descomposición de los primos en cuerpos de números; no obstante, sus métodos no son efectivos. La definición del polinomio asociado en orden r es el obstáculo cuya superación presentó mayores dificultades. En el fondo su construcción se reduce a encontrar "buenos" representantes de ciertas clases residuales módulo las valoraciones que acabamos de mencionar; ahora bien, la elección correcta (es decir, que funcione) de esos representantes pasa por un delicado trabajo con fracciones racionales. Finalmente, el teorema del índice es el resultado clave en el control de la finitud del proceso iterativo. En el tercer capítulo se describe un proceso de obtención de "representantes optimales" , que permiten recoger toda la información posible que se puede obtener a un nivel determinado antes de verse obligado a pasar al nivel superior. Con esta técnica se obtiene una implementación mucho más ágil del algoritmo que la que se obtendría con una aplicación ciega de los resultados del capítulo 2. En el cuarto capítulo se usan las técnicas del capítulo 2 para determinar de manera no algorítmica el discriminante absoluto y el tipo de descomposición de los primos en un cuerpo cuártico arbitrario.

Haces reflexivos sobre espacios proyectivos

Fri, 10 Jun 2011 10:00:04 GMT

Haces reflexivos sobre espacios proyectivos Miró-Roig, Rosa M. Esta memoria pretende contribuir al estudio de haces reflexivos sobre espacios proyectivos en los dos aspectos siguientes: (A) Caracterización de las clases de Chern de haces reflexivos sobre espacios proyectivos. (B) Estudio de esquemas que parametrizan haces reflexivos sobre espacios proyectivos con clases de Chern prefijadas.

Algunos resultados sobre cohomología de las variedades kählerianas

Thu, 12 May 2011 09:30:15 GMT

Algunos resultados sobre cohomología de las variedades kählerianas Girbau i Badó, Joan En esta tesis doctoral se desarrollan diferentes propuestas sobre la cohomología de las variedades kählerianas, tomando como origen una variedad kähleriana “W” compacta y de dimensión compleja “n”. La tesis comienza con una breve introducción en la que se ofrecen los enunciados de los resultados obtenidos en la tesis y se sitúan en el marco de los trabajos anteriormente publicados, para pasar a continuación al articulado propiamente dicho, formado por tres capítulos. En el primero se exponen una serie de puntos preliminares, que se complementan con los cálculos necesarios para el desarrollo de las hipótesis (Capítulo II) y que culminan con la presentación detallada de los resultados en el capítulo III. La tesis finaliza con un apartado de Bibliografía en el que se hace mención del soporte científico manejado por el autor.

Características bioquímicas y factores pronósticos del rechazo agudo después del trasplante ortotópico de hígado en el adulto

Mon, 09 May 2011 14:12:33 GMT

Características bioquímicas y factores pronósticos del rechazo agudo después del trasplante ortotópico de hígado en el adulto Fuster Obregón, Josep El trasplante hepático es el tratamiento de elección en pacientes con hepatopatías en fase terminal. En la actualidad puede ofrecerse con esta terapéutica una supervivencia a los tres años que oscila entre el 60 y el 80%. Una vez superados los problemas de técnica quirúrgica y reanimación, los factores que pueden limitar el éxito del trasplante hepático son la presencia de rechazo y la aparición de infecciones. Se han buscado métodos para diagnosticar con prontitud el rechazo y se han tratado de encontrar factores que pudieran servir de predicción del rechazo. La gran variabilidad de los resultados y en otros casos la sofisticación de las técnicas o de la infraestructura necesaria para aplicarlas ha hecho que no se hayan adoptado de manera sistemática para diagnosticar el rechazo, Por otra parte la similitud que desde el punto de vista semiológico y bioquímico, presentan otras situaciones clínicas distintas del rechazo, hace que sea necesario asegurar el diagnóstico. Esto es particularmente importante, porque el aumento de los niveles de inmunosupresión puede aumentar el riesgo o la susceptibilidad de los pacientes frente a los agentes infecciosos, fundamentalmente víricos. La rapidez con que se inicia la administración de dosis crecientes de fármacos inmunosupresores puede ser vital a la hora de controlar el rechazo, pero también puede aumentar innecesariamente el riesgo de infección si en realidad el problema que presenta el paciente es otro. Estos precedentes, han acentuado la necesidad de obtener una biopsia hepática antes de iniciar el tratamiento. Sin embargo en situaciones especiales el tiempo que puede tardarse en "leer" la biopsia puede significar perder un tiempo precioso durante el cual el rechazo puede progresar. Con estas premisas se ha realizado una hipótesis de trabajo que pretende conocer si hay algunas alteraciones en los parámetros bioquímicos de función hepática o en otras variables que sean un índice seguro de rechazo, y asimismo conocer si existen datos en el donante o en el receptor que sirvan de predicción del rechazo. Esta tesis pretende a su vez concretar en una ecuación matemática la posibilidad de que una disfunción hepática sea un rechazo y establecer grupos de riesgo de presentar un rechazo a lo largo del tiempo. El estudio se realizó en los 100 primeros trasplantes realizados en el Hospital Clínic de Barcelona, entre junio de 1988 y Octubre de 1990. El seguimiento medio era de 11±8 meses, con un máximo de 30 meses y un mínimo de 3 meses. El 50% de los pacientes había superado los 10 meses de seguimiento. El estudio analiza el primer episodio de disfunción hepática tras el trasplante. Para el diagnóstico de rechazo se utilizaron criterios clínicos bioquímicos e histológicos. La biopsia fue considerada como el único criterio determinante para el diagnóstico de rechazo, e imprescindible para que el caso fuera incluido en el estudio. De esta manera quedaron configurados dos grandes grupos. El primero constituido por aquellos trasplantes en los que la biopsia mostró la existencia de un rechazo, y el segundo por los que la biopsia no demostró la presencia de un rechazo. A partir de este dato se recogió de cada trasplante una serie de variables obtenidas antes, durante o después del trasplante que fueron agrupados en las denominadas Variables Relacionadas con el donante, Variables Relacionadas con el Receptor, Variables relacionadas con el episodio de Rechazo y Variables que correlacionan Donante y Receptor. En total se han analizado en cada trasplante 33 variables. El estudio estadístico se realizó mediante un análisis bivariante con la variable dependiente Rechazo y las otras variables del donante y del receptor, seguidas de una regresión logística para identificar los parámetros con significación pronóstica independiente. Asimismo se analizó la probabilidad de presentar un rechazo a Jo largo del tiempo mediante la comparación de curvas de supervivencia mediante los test de Brelow y Mantel-Cox. Los resultados obtenidos permitieron contestar a modo de conclusión las preguntas planteadas en la hipótesis de trabajo: 1.- ¿Existen algunas alteraciones en los parámetros bioquímicos de función hepática o en otras "aria bies que se desprenden del estudio del donante y del receptor que sean un índice seguro de diagnóstico de rechazo? Sí. El estudio realizado permitió separar dos tipos de pacientes en función de la presencia o no de rechazo. El análisis entre los dos grupos demostró que existían algunas diferencias entre ellos que eran significativas desde el punto de vista estadístico. Después de realizar el estudio bivariable se han determinado unos puntos de corte de cada variable que con el estudio estadístico ofrecen una sensibilidad y especificidad alta con una probabilidad de diagnosticar correctamente entre el 81% y el 87% de los pacientes. Tras este estudio se realizó un estudio multivariable en el que se introdujeron las variables que habían resultado significativas en el estudio univariable y otras que razonablemente podían estar implicadas desde el punto de vista médico. En el modelo final resultaron ser significativas cuatro variables, tres de ellas cuantitativas como son el valor de bilirrubina, el valor de Gammaglutamiltranspeptidasa y la edad del receptor y una cualitativa que fue la compatibilidad entre donante y receptor a nivel del "locus" B del Complejo Mayor de Histocompatibilidad. 2.- ¿Existen algunos datos obtenidos del estudio del receptor que puedan servir de predicción de la aparición de un rechazo a lo largo del tiempo? Sí. El interés de esta tesis se centraba no sólo en el análisis del rechazo a partir del momento de su aparición sino también en considerar si existían factores que sirvieran de predicción de la aparición del rechazo. Estos factores se han definido en este estudio tras la realización de curvas de supervivencia. El único factor dependiente del receptor que tienen capacidad de predicción de la aparición del rechazo en nuestros trasplantes es el Diagnóstico por el que se indica el Trasplante. A través del estudio estadístico realizado se pudo establecer una gradación de mayor a menor rechazo en función del diagnóstico. Los pacientes con un trasplante realizado por una Insuficiencia Hepática Aguda, tienen una mayor incidencia de rechazo agudo. Este hecho no es dependiente de la compatibilidad ABO. La necesidad acuciante de un órgano hace que en estos pacientes no se respete la compatibilidad sanguínea. Por esta razón se podía suponer que este grupo de pacientes el rechazo agudo era una consecuencia de la trasgresión de la compatibilidad ABO. Esto no es así porque el número de pacientes con ABO incompatible es insignificante. Por otra parte se ha podido observar que los pacientes con Cirrosis de etiología alcohólica tienen una menor probabilidad de presentar un rechazo a lo largo del tiempo, significativamente menor que el que presentan los pacientes con Cirrosis de etiología no alcohólica como son las criptogenéticas o las post-hepáticas. 3.- ¿Existen algunos dalos obtenidos del estudio del donante que puedan servir de predicción de la aparición de un rechazo a lo largo del tiempo? Sí. Al igual que en la pregunta anterior de la hipótesis se han calculado curvas de supervivencia de cada parámetro hasta el momento en que los pacientes han presentado un rechazo. Se han encontrado dos parámetros dependientes del estudio del donante que podrían servir de predicción de la aparición de un rechazo, y que son el sexo del donante y también el tipo de Solución de Preservación utilizado. Los trasplantes realizados con donantes de sexo femenino tienen un tiempo libre de rechazo significativamente mayor que los de sexo masculino. Del mismo modo, los órganos preservados con el método que hemos denominado combinado tienen un mayor tiempo libre de rechazo que los preservados con Solución de Eurocollins o Solución de Wisconsin aisladas. 4.- ¿Podría concretarse en una ecuación matemática la probabilidad de que una determinada disfunción hepática, en un determinado receptor al que se le ha trasplantado un determinado hígado fuera un rechazo? Sí. Para contestar a esta pregunta planteada en la hipótesis hemos utilizado las variables que demostraren capacidad pronostica independiente para diagnosticar el rechazo. Los resultados se han concretado en la siguiente ecuación en la cual se tienen en cuenta estas variables en función de los puntos de corte y de los coeficientes de regresión: e(2.9971+edadx(-0.19868)+ MMBx2.7666 +Bix4.5203+GPTx5.6646) PROB= ----------------------------------------------------------------------------------------------- 1+e(2.9971+edadx(-0.19868)+MMBx2.7666+Bix4.5203+GPTx5.6646) Esta ecuación ofrece según el cálculo de probabilidades un valor global de alrededor del 90%. Se ha validado en un grupo de enfermos pertenecientes a la misma Unidad distintos de la serie inicial de 100 Trasplantes. Se han considerado tanto los primeros episodios como los segundos o terceros episodios de disfunción hepática. Los resultados obtenidos tras la validación demuestran que con esta ecuación es posible diagnosticar correctamente las tres cuartas partes de los episodios de disfunción hepática que aparecen tras el trasplante. 5.- ¿Sería posible establecer distintos grupos de riesgo de presentar un rechazo a lo largo del tiempo, en función de parámetros obtenidos del estudio del donante y del receptor? Sí. El estudio multivariable que se realizó con todos los factores significativos demostró que existía como único factor pronóstico independiente, el diagnóstico con el que se había realizado la indicación del trasplante. Existía una clara gradación en el sentido de que los pacientes con trasplante por Insuficiencia Hepática Aguda tienen un mayor probabilidad de presentar un rechazo o sea tienen un menor tiempo libre de rechazo. A continuación el grupo de las Enfermedades de predominio Colestásico constituidas en su mayor parte por Cirrosis Biliares Primarias. En tercer lugar se situaron los pacientes con Enfermedades de predominio hepatocelular en el que estaban incluidos los pacientes con cirrosis de variada etiología. Por último, como grupo en el que existe un mayor tiempo libre de rechazo están los pacientes con una hepatopatía alcohólica. Este hecho es un punto que debe unirse a las consideraciones éticas que se han invocado para que el grupo de los pacientes alcohólicos no sea discriminado a la hora de indicar un trasplante hepático.; Rejection is one of the most important problems alter liver transplantation (OLT).The aim of the present study was to evaluate the possibility of diagnosis of rejection only by biochemical parameters. Besides to study different preoperative and postoperative factors that may influence in the incidence of rejection episodes. MATERIAL AND METHODS: From June 1988 to October 1990, 82 OLT were performed. 66p were male and 16 female. Triple therapy immunosuppresive regimen was used (Cyclosporine, Azathioprine and Prednisone). During the follow-up period, 89 fine-needle aspiration biopsies were performed due to liver graft dysfunction episodes. Variables considered were: Liver Function tests, donor and recipient age, sex, CMV status, ABO compatibility, HLA mismatch, Crossmatch, preservation solution, and indication for OLT (hepatocellular, cholestatic, fulminant hepatic failure , and retransplantation, Statistical Analysis: Univariate and Multivariate Methods (proportional hazard model with co-variates) were used. Only the first liver dysfunction episode was considered. According to histologic findings the samples were divided in Group 1: rejection present (60), Group 2: No signs of rejection (22). Median follow up was of 10 months (range from 3 to 28). RESULTS: Patients with rejection episodes significantly differed in the value of: Bilirrubín >2.5 mg%, AST>701.U, age (inverse related) and mismatch B. Regression model was used and applied in a formula where the above variables were considered. Overall diagnosis sensibility and specificity was around 75%. Incidence of rejection was equally distributed with respect to donor age (26.3 vs. 25.3) and recipient age (44.9 vs. 48.6) Patients without sex mismatch rejected in 54.7%, while patients with sex mismatch rejected in 45.2%. Donor/recipient CMV+/- did not influence on rejection. A total of 6 positive crossmatch were detected, only one in the group of no rejection episodes. With respect to HLA mismatch, most of our patients had 5 or 6 MM (55). Finally patients with alcoholic cirrhosis had a low incidence of rejection (5 out of 14). Multivariate analysis confirmed the predictive value of the type of cirrhosis on the incidence of rejection (X2=7.7, p<0.005). CONCLUSION: Using the formula here in proposed the possibility to diagnose rejection episodes over 75%. Out of the preoperative risk factors studied we have found that only patients with alcoholic cirrhosis have demonstrated a low risk for rejection.

Camps de Killing en varietats semiriemannianes

Mon, 09 May 2011 11:23:57 GMT

Camps de Killing en varietats semiriemannianes Fossas Colet, Enric RESUM: Aquesta tesi s’organitza segons l’esquema per capítols següent: El capítol primer va encaminat a presentar el teorema de descomposició de de Rham-Wu, que estén, al cas semiriemannià, el conegut teorema de descomposició de de Rham. La demostració que donem és de Wu (W.1) i és inspirada en el fet que les transformacions de curvatura i les seves derivados caracteritzen una v a r i e t a t. El començament del capítol segon és un recull de resultats que necessitarem posteriorment. Així s'introdueix la forma de Cartan-Killing (algú pot pensar que ens hem pres una Ilicéncia massa agosarada anomenant-la així), i s'exposen els rudiments sobre isometries infinitesimals. Tot aixó permet de donar una generalització del teorema de Kostant i d'estudiar el comportament de l'ope rador A(X), associat a un camp de Killing X, en varietats de curvatura constant, tant si la constant val zero com si no val zero. En el capítol primer ja comentem que les varietats irreduïbles resulten insuficients en el cas semiriemanniá. Fan falta, a més, varietats que tinguin subespais de l'espai tangent, degenerats, invariants per l'acció del grup d'holonomia. D'aquestes en diem varietats gairebé irreduïbles seguint la notació de Wu. El capítol tercer és dedicat a estudiar d'entre aquestes varietats, aquelles que, a mes, siguin de Lorentz. Cal destacar que aqüestes darreres son proveïdes d'una foliació de dimensió 1 (conseqüentment, també una de codimensió 1) paral.lela, en la direcció d'un camp vectorial de norma zero. El capítol quart és dedicat a estudiar les possibles àlgebres d'holonomia de varietats de dimensió menor o igual que cinc, que siguin de Lorentz i gairebé irreduibles localment. Tot aixó va encaminat a escatir el caracter holónom o no holónom deis camps de Killing sobre aquestes varietats. Tant en el capítol anterior com en aquest, donem exemples de varietats de Lorentz gairebé irreduïbles. Un d'ells és, a mes, una varietat compacta i és proveit d'un camp de Killing no holónom. Finalment, el capítol cinqué conté generalitzacions d'aquests exemples, així com del teorema de Kostant, ja comentada en el capítol segon. També conté aplicacions d'aquests teoremes quan el tensor de Ricci de la varietat satisfà condicions prou bones.

On Sandwiched Surface Singularities and Complete Ideals

Mon, 09 May 2011 10:21:53 GMT

On Sandwiched Surface Singularities and Complete Ideals Fernández Sánchez, Jesús The original interest in sandwiched singularities comes from a natural question posed by J. Nash in the early sixties to H. Hironaka: “Does a finite succession of Nash transformations or normalized Nash transformations resolve the singularities of a reduced algebraic variety?” In 1975, A. Nobile proved that, in characteristic zero, a Nash transformation is an isomorphism only in case the original variety is already non-singular. It turns out, in particular, that curve singularities are resolved by a succession of Nash transformations. Rebasoo proved in his Ph. D. thesis that Nash transformations also resolve certain kinds of quasi-homogeneous hypersurface singularities in (C)3. In 1982, G. Gonzalez-Sprinberg proved that normalized Nash transformations resolve rational double points and cyclic quotients singularities of surfaces. Then, H. Hironaka proved that after a finite succession of normalized Nash transformations one obtains a surface “X” which birationally dominates a non-singular surface. By definition, the singularities of “X” are sandwiched singularities. Some years later, M. Spivakovsky proves that sandwiched singularities are resolved by normalized Nash transformations, thus giving a positive answer to the original question posed by Nash for the case of surfaces over C. Since then, a constant interest in sandwiched singularities has been shown, and they have been deeply studied from the point of view of deformation theory by de Jong and van Straten, and also by Stolen and Mohring. Sandwiched singularities have been also studied as a nice testing ground for the Nash and the wedge Problem by Lejeune-Jalabert and Reguera, where the main idea is to extend combinatorial arguments for toric surface singularities to sandwiched ones. Sandwiched singularities are the singularities obtained by blowing-up a complete ideal in the local ring of a regular point on a surface. They are rational surface singularities (roughly speaking, isolated singularities whose resolution has no effect on the arithmetic genus of the surface) and among them are included all cyclic quotients and minimal surface singularities. Sandwiched singularities are Cohen-Macaulay, but are not complete intersections and in general, there are no simple equations for them. The purpose of this memoir is to study sandwiched singularities through their relationship to the infinitely near base points of the complete ideals blownup to obtain them. Now, we briefly summarize the main contents of each one of the chapters. Chapter I is of preliminary nature and gives references to the literature for proofs. Concepts and well-known facts about infinitely near points, weighted clusters, complete ideals and rational and sandwiched surface singularities are reviewed and some consequences that are needed in the memoir are derived. In Chapter II we establish the main link between the study of sandwiched singularities and the theory of Enriques diagrams of weighted clusters and we derive some results on sandwiched singularities by using the unloading procedure. Chapter III deals essentially with the principality of divisors going through a sandwiched singularity. It is well known that Wei divisors going through a singularity (X, Q) are not Cartier divisors in general. In Chapter IV we use the results of Chapter III to explore the connection between the ideal sheaves on “X” with finite cosupport contained in the exceptional locus and the complete m(o)-primary ideals in R. Chapter V is devoted to derive consequences related to the Nash conjecture of arcs for sandwiched singularities. In Appendix A, we provide the listings of three programs in language C implementing some of the algorithms proposed. These programs have been used to compute some of the examples presented throughout the memoir. Part of the results of this thesis has been published or will be published in: • J. Fernandez-Sanchez, On sandwiched singularities and complete ideals, J. Pure Appl. Algebra 185 (2003), no. 1-3, 165-175. [19] • J. Fernandez-Sanchez, Nash families of smooth arcs on a sandwiched singularity, To appear in Math. Proc. Cambridge. Philos. Soc. [18] • J. Fernandez-Sanchez, Equivalence of the Nash conjecture for primitive and sandwiched singularities, To appear in Proc. Amer. Math. Soc. [17]

Aproximaciones sucesivas de las soluciones de ecuaciones en derivadas parciales de 3r orden

Fri, 06 May 2011 10:55:47 GMT

Aproximaciones sucesivas de las soluciones de ecuaciones en derivadas parciales de 3r orden Cascante Dávila, Joaquín Mª El presente trabajo tuvo su origen durante el transcurso de los estudios monográficos de Doctorado, correspondientes al curso académico 1952-1953 de la Sección de Matemáticas, en que nos fue propuesta en la Asignatura de Doctorado “Ecuaciones en derivadas parciales de tipo hiperbólico”, por el Prof. Dr. Augé, la clasificación y reducción a formas canónicas de las ecuaciones cuasilineales en derivadas parciales de 3er. orden con dos variables independientes. Resuelto este problema, se nos sugirió la posibilidad de obtener un teorema de existencia para las ecuaciones lineales de 3er. Orden con dos variables independientes de tipo hiperbólico, por el método de aproximaciones sucesivas en el campo real, que fuese, por decirlo así, una prolongación de los resultados obtenidos por Picard en las ecuaciones en derivadas parciales de 2º orden. En la actualidad, la teoría de las distribuciones ha contribuído poderosamente a la sistematización de los procedimientos empleados en la resolución de los problemas de contorno adeucados a distintos tipos de ecuaciones diferenciales, dando lugar a los llamados “métodos operacionales”, los cuales constituyen los intrrumentos de cálculo de soluciones de dichas ecuaciones, preferidos por la mayoría de los especialistas a ellos consagrados. Por lo que a nuestro trabajo se refiere, no nos hemos aparato del clásico método constructivo, de la solución en el campo real, mediante aproximaciones sucesivas de la misma, iniciado por Picard y seguido por otros autores, por creer que su eficacia podía extenderse todavía a ecuaciones de orden superior a las estudiadas por Picard, y aún incluso a las por nosotros consideradas. Concretando, el problema que nos hemos planteado y resuelto puede resumirse en los Apartados siguientes: a) Clasificación de las ecuaciones en derivadas parciales de 3er. orden con dos variables independientes y separación de los casos hiperbólicos. b) En los casos hiperbólicos, construcción y cálculo de la solución al problema de Cauchy, por el método de aproximaciones sucesivas en el campo real. c) Teorema de unicidad. d) Generalización a ecuaciones no lineales. De acuerdo con dichas ideas, hemos creído conveniente subdividir nuestro trabajo en cuatro Capítulos para la mejor metodización y exposición del mismo. - En el Capítulo I, hemos clasificado las ecuaciones en derivadas parciales cuasi-lineales de 3er. orden con dos variables independientes, hallando los cambios de variables que permiten reducirlas a las formas canónicas más sencillas separando los casos hiperbólicos de los demás. - En el Capítulo II, planteamos y resolvemos en el campo real al problema de Cauchy para toda ecuación hierbólica determinando los dominios de dependencia de cada punto y prolongación del arco de curva sobre el que son dadas las condiciones iniciales, obteniendo fórmulas resolutivas, demostrativas de que al problema de Cauchy considerado es adecuado a la ecuación dada. - En el Capítulo III, demostramos el teorema de existencia y unicidad para toda ecuación lineal de tipo hiperbólico, reduciada a su forma canónica. - Finalmente, en el IV y último Capítulo, planteamos y resolvemos localmente el problema de Cauchy para toda ecuación cuasi-lineal de 3er. orden de tipo hiperbólico, con dos variables independientes, previamente reducida a su forma canónima, con el mismo sistema de condiciones iniciales que el de las ecuaciones consideradas en los anteriores Capítulos, supuestas verificiadas ciertas condiciones de continuidad y derivabilidad, El método que hemos seguido para la construcción de las soluciones de las ecuaciones en derivadas parciales de 3er. orden con dos variables, de tipo hiperbólico, no se aparta pues, esencialmente, del empleado por Picard y otros en la demostración de los teoremas de existencia de las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden cualquiera, y las de derivadas parciales de 2º orden, y la creencia, por parte nuestra, de que el mismo no había agotado todas sus posibilidades, así como de que es todavía de ser susceptible de ser aplicado al cálculo de soluciones en el campo real de ecuaciones de más de dos variables independientes, y de orden superior al tercero, es la principal razón que nos ha impulsado a redactar el presente trabajo

Sobre el problema de inmersión de la Teoría de Galois

Wed, 04 May 2011 09:13:16 GMT

Sobre el problema de inmersión de la Teoría de Galois Crespo Vicente, Teresa Se estudian en esta memoria dos aspectos del problema de inmersión de la Teoría de Galois: la existencia de soluciones con condiciones prefijadas sobre la ramificación (capítulos I y II-1) y la construcción efectiva de soluciones (capítulos II-2, II-3 y III). En el capítulo I se revisa primeramente la Teoría de Galois sobre esquemas. Obtenemos que todo recubrimiento principal de un esquema conexo “X” es suma directa de recubrimientos galoisianos de X, isomorfos, generalizando así el resultado de Hasse relativo a la estructura de las galoisianas sobre un cuerpo. El estudio del concepto de recubrimiento de un esquema conexo nos permite plantear el problema de inmersión sobre esquemas. Traduciendo a este lenguaje el problema de inmersión sobre un cuerpo de números, con conjunto de ramificación prefijado, se observa que la obstrucción a la resolubilidad de este problema viene dada por un elemento de un grupo de cohomología étale. Esto nos permite obtener condiciones para que, de la resolubilidad de un problema de inmersión sobre un cuerpo de números “K”, dado por una extensión de grupos central, con núcleo abeliano, pueda deducirse la existencia de soluciones, con conjunto de ramificación prefijado. Dichas condiciones se expresan en términos de número de clases de ideales del anillo de enteros del cuerpo K. En el capítulo II nos planteamos si, para un problema de inmersión del tipo considerado en el capítulo anterior, puede obtenerse un cuerpo solución sin aumentar el conjunto de ramificación. Para ello, se estudia previamente la variedad de las soluciones con conjunto de ramificación prefijado a un problema de inmersión sobre un cuerpo de números. El objetivo del capítulo III es construir explícitamente las soluciones a problemas de inmersión dados por extensiones espinoriales.

Aritmètica d'ordres quaterniònics i uniformització hiperbòlica de corbes de Shimura

Tue, 12 Apr 2011 13:17:12 GMT

Aritmètica d'ordres quaterniònics i uniformització hiperbòlica de corbes de Shimura Alsina i Aubach, Montserrat L'estudi dels grups fuchsians i les funcions automorfes associades s'inicià en el segle XIX en els treballs de H. Poincaré, R. Fricke i F. Klein, principalment. A partir dels anys seixanta, al llarg de nombrosos treballs, G. Shimura considerà l'acció de grups fuchsians "F" donats per subgrups d'unitats d'àlgebres de quaternions en el semiplà de Poincaré "H". El quocient F/H s'identifica amb els punts complexos d'una corba algebraica, anomenada corba de Shimura. Si l'àlgebra de quaternions és M(2, Q), en resulten les corbes modulars. Avui dia l'estudi de les corbes de Shimura ha mostrat ser un tema d'interès creixent en teoria de nombres, ja que han esdevingut en els darrers anys una eina clau en l'estudi de problemes aritmètics i en la demostració de resultats importants com ara el teorema de Fermat.

Els tractaments algorítmics de les corbes de Shimura no modulars i de les corbes modulars són essencialment diferents. D'una banda, les corbes de Shimura es defineixen com a espais de moduli de superfícies abelianes, de les quals no se'n té informació numèrica. De l'altra, l'absència d'elements parabòlics en el grup fuchsià permet utilitzar desenvolupaments de Fourier a l'entorn de les puntes per a representar les funcions automorfes associades.

De manera anàloga a la relació entre formes quadràtiques binàries i ordres dels cossos quadràtics, tenim una relació entre formes quadràtiques ternàries i ordres quaterniònics. Aquesta relació ens permet traslladar a un àmbit d'àlgebra no commutativa les necessitats de càlcul en corbes de Shimura. Notem que l'inici de l'estudi dels grups fuchsians en els treballs de Poincaré està lligat a la teoria de les formes quadràtiques. Shimura substituí elllenguatge algebraic de formes quadràtiques pel llenguatge geomètric de varietats abelianes. Així, com a eines algebraiques per a poder calcular hem considerat tant els ordres de les àlgebres de quaternions com les formes quadràtiques. En particular, això ha requerit l'estudi de treballs anteriors i posteriors a Shimura referents a àlgebres de quaternions i formes quadràtiques.

Els principals resultats de la memòria fan referència a l'existència i propietats d'uniformitzacions hiperbòliques de corbes de Shimura, que s'obtenen per mitjà d'un estudi previ de l'aritmètica d'ordres de les àlgebres de quaternions. El model canònic obtingut per Shimura està caracteritzat per uns certs punts, anomenats punts de multiplicació complexa. En la memòria hem determinat aquests punts de manera explícita, a partir d'un conjunt de bijeccions que establim entre: classes d'immersions optimals d'ordres quadràtics imaginaris en ordres quaterniònics, classes de representacions primitives d'enters per formes quadràtiques ternàries enteres, classes de formes quadràtiques binàries de coeficients semi-enters en cossos quadràtics, definides i els punts de multiplicació complexa. Aquest plantejament ens ha portat, en particular, al desenvolupament d'una teoria de classificació de formes quadràtiques binàries per certs subgrups discrets de SL(2,R) diferents del grup modular SL(2,Z).

Paral.lelament hem elaborat el paquet informàtic "Poincare", implementat en MapleV, amb unes 200 instruccions, que manipula els diferents objectes que intervenen al llarg de la memòria: ordres d'àlgebres de quaternions, formes quadràtiques, objectes de geometria hiperbòlica, immersions, punts de les corbes de Shimura, etc. El paquet conté la implementació dels algoritmes obtinguts i permet realitzar càlculs efectius.

El capítol 1 està dedicat a les àlgebres de quaternions i els seus ordres. En el capítol 2 s'introdueixen formalment les corbes de Shimura X(D, N), definides a partir d'un ordre d'Eichler O(D, N). En el capítol 3 donem una uniformització hiperbòlica implementable de les corbes de Shimura per al cas no ramificat, X(, N) = X(o)(N), de nivell N primer.

Els capítols 4, 5 i 6 estan dedicats a les formes quadràtiques obtingudes a partir de les àlgebres de quaternions, especialment les formes nòrmiques quaternària i ternària i el conjunt de formes binàries H(O) associat a un ordre quaterniònic O incluido en H. Donem resultats sobre la relació entre els invariants de l'ordre i les formes quadràtiques associades. A més de l'estudi dels seus invariants, l'aplicació dels conceptes introduïts per H. Brandt ens ha permès arribar a resultats sobre la caracterització de les formes nòrmiques que són K-formes.

En el capítol 7 tractem amb immersions optimals d'ordres de cossos quadràtics en ordres d'àlgebres de quaternions, a partir de l'estudi de les formes quadràtiques associades als ordres. D'una banda, això ens ha permès obtenir resultats sobre formes quadràtiques; d'altra banda, ens ha aportat efectivitat al càlcul d'immersions. Relacionem les immersions de cossos quadràtics en àlgebres de quaternions amb les representacions de formes quadràtiques binàries per formes quaternàries i les representacions de nombres per formes ternàries. Mostrem lligams entre la classificació de les immersions i la de les representacions de nombres per formes ternàries i donem resultats sobre famílies de formes binàries de coeficients semi-enters en un cos quadràtic amb determinant fixat associades als ordres quaterniònics i sobre la seva classificació per subgrups discrets de SL(2, R).

En el capítol 8 estudiem la uniformització hiperbòlica de les corbes de Shimura corresponents a àlgebres de divisió i presentem polígons hiperbòlics explícits que són dominis fonamentals per a corbes de Shimura corresponents a àlgebres poc ramificades. Caracteritzem les homografies quaterniàniques a partir dels resultats d'immersions i formes quadràtiques del capítol anterior, estudiem les homografies el-líptiques i les explicitem per a les àlgebres poc ramificades de tipus A i B. Estudiem també les homografies hiperbòliques que fixen l'infinit i certes simetries, anàlogues a les del cas modular. Així, posem de manifest l'existència d'una homotècia principal que substitueix la translació del cas no ramificat i introduïm les rectes hiperbòliques principals. A continuació, donem pautes per a l'aplicació del mètode dels cercles d'isometria en la construcció de dominis fonamentals. Fem efectiva la construcció de dominis fonamentals, per mitjà de polígons hiperbòlics i en descrivim les característiques. Mostrem també les representacions gràfiques dels dominis fonamentals explicitats, per a les corbes de Shimura X(6, 1), X(10, 1) i X(15, 1), i taules amb els cicles i la presentació dels grups.

En el capítol 9 estudiem els punts de multiplicació complexa de les corbes de Shimura X(D, N) utilitzant els resultats sobre la uniformització hiperbòlica i el tàndem immersions-formes quadràtiques dels capítols anteriors. Considerem un conjunt finit d'ordres quadràtics per als quals hi ha punts de multiplicació complexa especials. En particular, per a les corbes de Shimura corresponents a àlgebres no ramificades i poc ramificades explicitem els resultats anteriors i en donem representacions gràfiques. Més concretament, representem tots els punts de multiplicació complexa especials en els dominis fonamentals de les corbes X(1, N) presentats en el capítol 3 i en els dominis de les corbes X(D, 1) presentats en el capítol 8. Les comandes implementades permeten classificar els ordres per als quals una corba X(D, N) té punts de multiplicació complexa especials, obtenir la llista d'ordres quadràtics de multiplicació complexa especial i calcular els punts de multiplicació complexa per un ordre quadràtic fixat.; The main results refer to the existence and properties of hyperbolic uniformity of Shimura curves, obtained by a study of the arithmetic of orders in quaternion algebras. The canonical model of Shimura curves is characterized by its complex multiplication points. We determine these points in an explicit way, from a set of bijections we state between: classes of optimal immersions of imaginary quadratic orders in quaternionic orders; classes of primitive representations of integers by integer ternary quadratic forms, and classes of defined binary quadratic forms with semi-integers coefficients in quadratic fields. This approach led us to develop a classification theory of binary quadratic forms by some discrete subgroups of SL(2, R) different from SL(2, Z).

In a parallel way, we elaborated the package "Poincare", implemented in "Maple V", that handle orders in quaternion algebras, quadratic forms, objects from hyperbolic geometry, immersions, points of Shimura curves, etc. The package, with 200 instructions, contains the implementation of the obtained algorithms and allow to do effective calculations.

Chapter 1 deals with quaternion algebras. In the chapter 2, the Shimura curves X(D, N) are formally introduced, from an Eichler order O(D, N). In chapter 3, we give an implementable hyperbolic uniformity in the non ramified case, X(1, N) = X(o)(N), of level "N" prime. Chapters 4, 5 and 6 are devoted to the quaternary and ternary normic forms and the set of binary forms, obtained from quaternion algebras. Chapter 7 deals with optimal immersions of quadratic orders in quaternionic orders. The use of quadratic forms has furnished effectiveness in the calculation of immersions. In chapter 8, we study the hyperbolic uniformity of the Shimura curves corresponding to division algebras and we present explicit hyperbolic polygons that are fundamental domains for some Shimura curves in the ramified case. In chapter 9, we study the complex multiplication points. We consider a finite set of quadratic orders for which there are special complex multiplication points. The implemented commands allow to obtain the list of quadratic orders with special complex multiplication and to compute the complex multiplication points by a fixed quadratic order.

Adams Representability in Triangulated Categories

Tue, 12 Apr 2011 13:17:11 GMT

Adams Representability in Triangulated Categories Raventós Morera, Oriol This thesis contains new results about the representability of cohomological functors defined on a subcategory of compact objects (with respect to a fixed cardinal) of a well generated triangulated category. Classical theorems of Adams for the stable homotopy category and Neeman for compactly generated triangulated categories are extended to the first uncountable cardinal. The case of derived categories of rings and the stable motivic category are studied in detail. These results contribute to answering negatively a question raised by Rosický of whether all cohomological functors defined on a subcategory of compact objects with respect to a large enough cardinal are representable. Some of the findings in this thesis are based on new results about abelian categories, the most relevant being a generalization of the Auslander Lemma for non Grothendieck categories.; TESI "Representabilitat d'Adams en categories triangulades"

TEXT:

En aquesta tesi s'obtenen resultats nous sobre la representabilitat de functors cohomològics definits en subcategories d'objectes compactes (respecte a un cardinal fixat) d'una categoria triangulada ben generada. S'estenen al primer cardinal no numerable teoremes antics d'Adams per a la categoria d'homotopia estable i de Neeman per a categories compactament generades. S'estudien en detall els casos de la categoria derivada d'un anell i la categoria motívica estable. Aquests resultats contribueixen a respondre negativament una pregunta de Rosický sobre si tots els functors cohomològics definits en una subcategoria d'objectes compactes respecte a un cardinal suficientment gran són representables. Alguns dels avenços d'aquesta tesi es basen en nous resultats sobre categories abelianes, el més rellevant dels quals és una generalització del lema d'Auslander per a categories que no són de Grothendieck.

Sobre el álgebra de las funciones enteras de orden acotado

Tue, 12 Apr 2011 13:17:11 GMT

Sobre el álgebra de las funciones enteras de orden acotado Cufí Sobregrau, Julián Numerosas álgebras de funciones, importantes en Análisis, se obtienen al imponer condiciones de crecimiento a funciones de un determinado espacio y dotarlas de una topología adecuada a dichas condiciones. Algunas veces se obtienen álgebras de Banach a las que es aplicable la teoría del Gelfand; otras veces son álgebras localmente multiplicativamente convexas, es decir espacios localmente convexos dotados de un producto continuo y que poseen una base de entornos m-convexos (convexos e ídem potentes para el producto), las cuales son límites proyectivos de álgebras normadas y a las que, en consecuencia, es aplicable la teoría citada, debidamente generalizada. Nosotros estudiaremos, aquí, un álgebra topológica de funciones analíticas que, por la naturaleza de las condiciones de crecimiento, no es límite de álgebras normadas, procurando poner de manifiesto las propiedades más generales que se manejan, para que el estudio sea utilizable para otras álgebras análogas.

En el Capítulo I se introduce el álgebra E(alfa) de las funciones enteras de orden menor o igual que alfa, dotada de una topología natural, y se establecen las propiedades de esta tipología que se necesitarán más adelante; topologías localmente convexas de este tipo y otras análogas habían sido ya consideradas por la literatura especializada, donde se establece el hecho que sean nucleares.

El Capítulo II trata a E(alfa) desde el punto de vista del álgebra, estableciendo en especial la continuidad de la derivación y del paso al inverso.

En el Capítulo III se considera el espacio de sucesiones asociado a E(alfa) probando que su topología normal coincide con la original y deduciendo de ello la densidad de los polinomios en E(alfa), lo que dice que el espectro de caracteres de esta álgebra es el plano complejo.

En el Capítulo IV se estudian las propiedades más ligadas a la naturaleza de las funciones de E(alfa): cuestiones de acotación y convergencia de productos infinitos y de la descomposición de Hadamard de estas funciones. Los resultados obtenidos se aplican a caracterizar los ideales cerrados de E(alfa) a través de sus ceros, obteniéndose en particular que el espectro de ideales maximales cerrados del álgebra coincide con el espectro de caracteres. La determinación de ideales cerrados había sido ya tratada para álgebras de funciones analíticas con condiciones de crecimiento.

En el Capítulo V se considera el problema de la interpolación de una sucesión dada por funciones de E(alfa); se introduce un álgebra de sucesiones dotada de una tipología análoga a la de E(alfa), en la que forzosamente han de estar las sucesiones interpolables y se prueba que tales sucesiones son densas en ella, así como en el espacio de todas las sucesión dotado de la tipología producto. Los métodos utilizados se aplican, también, a estudiar los cocientes del álgebra de las funciones enteras por un ideal cerrado.

El Capítulo VI empieza con algunas condiciones para que un álgebra topológica sea un álgebra de funciones enteras y pasa después a tratar los problemas de división e inversión de una sucesión convergente en tales álgebras, los cuales están ligados a la descripción de los ideales cerrados en álgebras satisfaciendo hipótesis análogas a las propiedades estudiadas en E(alfa).

Producte, convexificació i completació d'espais mètrics generalitzats i probabilístics.

Tue, 12 Apr 2011 13:17:10 GMT

Producte, convexificació i completació d'espais mètrics generalitzats i probabilístics. Alsina Català, Claudi En aquesta tesi s'estudien les tipologies de l'ordre i els productes d'espais mètrics generalitzats aplicant els resultats al cas del producte numerable d'espais mètrics probabilístics (Sigma i Tau Productes) de Menger, Wald i Serstnev. Aquest apartat ens du a analitzar el comportament de les funcions triangulars "T" amb les sèries de funcions de distribució. Es construeixen immersions en espais seqüencialment convexos que són subespais de productes numerables i es dona un procés de completació que generalitza els processos usuals.; Se estudian las topologías del orden y los productos de espacios métricos generalizados aplicando los resultados al caso del producto numerable de espacios métricos probabilísticos (Sigma y Tau Productos) de Menger, Wald y Serstnev. Dicho apartado lleva a analizar el comportamiento de las funciones triangulares T con las series de funciones de distribución. Se construyen inmersiones en espacios secuencialmente convexos que son subespacios de productos numerables y se da un proceso de completación que generaliza los procesos usuales.

Grupos finitos con cohomología periódica y espacios que admiten recubrimientos esféricos

Tue, 12 Apr 2011 13:17:10 GMT

Grupos finitos con cohomología periódica y espacios que admiten recubrimientos esféricos Castellet Solanas, Manuel En un trabajo no publicado y con vistas a la teoría de cuerpos de clases, J. Tate modificó los grupos "o" de cohomología de un grupo finito G con coeficientes en un G-módulo A, de tal manera que los nuevos grupos obtenidos, los grupos de cohomología de Tate, se pueden combinar en una sola sucesión H(q)(G,A) (-infinito menor que q menor que +infinito), la sucesión derivada completa de G.

Bajo un aspecto puramente matemático, la cohomología de Tate presenta dos ventajas: a) es "calculable" a partir de una resolución completa W(q) (-infinito menor que q menor que +infinito) de G (complejo de Tate; existen grupos finitos G -entre ellos todos los cíclicos y cuaterniónicos generalizados- para los cuales H(G,A) es periódica para todo G-módulo A, es decir existe un n natural tal que, para todo i, H(i)(G,A) es más o menos igual a H(i+n)(G,A). Estos grupos, a los que llamaremos periódicos, fueron caracterizados por E. Artin y J. Tate ([1], XII.1). Resulta de esta caracterización que la categoría de los grupos periódicos no es muy vasta, ya que todo p-subgrupo de un grupo periódico G ha de ser forzosamente cíclico o cuaterniónico generalizado, para todo p primo divisor del orden de G.

En este trabajo, de naturaleza fundamentalmente topológica, presentamos algunos resultados que conciernen a espacios sobre los que opera un grupo finito, el grupo fundamental del espacio orbital. Para ello realizamos previamente un estudio puramente algebraico de los p-períodos de un grupo p-periódico.

Esta memoria está distribuida en tres capítulos. El capítulo 1 agrupa todas las definiciones agrupa todas las definiciones y resultados sobre cohomología de Tate, que necesitamos, así como los teoremas de caracterización de la periodicidad. El capítulo 2 es también de naturaleza puramente algebraica y contiene algunos resultados de Swan y los teoremas que obtenemos referentes a los p-períodos de un grupo p-periódico. El capítulo 3 es estrictamente topológico y, además de la sucesión espectral de Swan, contiene, entre otros, los teoremas topológicos que se deducen como aplicación de los resultados del capítulo 2.

Contribución al estudio de los grandes módulos de Cohen-Macaulay equilibrados

Tue, 12 Apr 2011 13:17:10 GMT

Contribución al estudio de los grandes módulos de Cohen-Macaulay equilibrados Zarzuela, Santiago Todos los anillos que se consideran son Conmutativos y Noetherianos. En torno y a partir de la Conjetura de Serre de Multiplicidades (1957) se ha desarrollado durante estos últimos 25 años una importante área de trabajo en el Álgebra Conmutativa que ha acabado denominándose Conjeturas Homológicas. De entre todas estas conjeturas una de las que mayor trascendencia ha tenido es la denominada de Grandes Módulos de Cohen-Macaulay, formulada por M. Hoschter en 1973 y que dice así:

Sea "A" un anillo local y a(1), .,a(n) un sistema de parámetros de A. Existente entonces un A-módulo M para el que a(1), .., a(n) es M-sucesión.

Se dice entonces que M es un gran módulo de Cohen-Macaulay respecto a a(1), ., a(n). La importancia de esta Conjetura proviene fundamentalmente de dos razones. Una la que tiene como consecuencia la mayoría de las restantes Conjecutras Homológicas, y otra que fue demostrada afirmativamente por el propio Hochster siempre que el anillo contenga un cuerpo, recubriendo así y también ampliando la mayoría de los resultados hasta entonces conocidos en este campo.

Los grandes módulos de Cohen-Macaulay no son por lo general de tipo finito, pues existen anillos de dimensión 2 para los que ningún gran módulo de Cohen-Macaulay puede ser de generación finita. De hecho la existencia para todo anillo completo A de un A-gran módulo de Cohen-Macaulay de tipo finito, es decir, de un gran módulo de Cohen-Macaulay con grado igual a la dimensión del anillo, constituye la Conjetura de Pequeños Módulos de Cohen-Macaulay, de la que muy poco se sabe. Resulta entonces que casi ninguna de las propiedades verificadas por los módulos de tipo finito pueden extenderse a los grandes módulos de Cohen-Macaulay; por ejemplo, existen anillos A de dimensión 2 y A-grandes módulos de Cohen-Macaulay M con M sucesiones que no conmutan.

Por otro lado, P. Grifith en 1975 y en un intento de demostrar la Conjetura de Pequeños Módulos de Cohen-Macaulay a partir de la de Grandes Módulos de Cohen-Macaulay, construye sobre los anillos completos A que contienen un cuerpo grandes módulos de Cohen-Macaulay M para los que todo sistema de parámetros de A es M-sucesión.

También M. Hochster demostró mediante una modificación de sus célebres "Modificaciones" que sobre todos los anillos que contienen un cuerpo existen tales Módulos de Cohen-Macaulay, pero son Bartjin y Strooker quienes en 1981 se dan cuenta de la abundancia de tales módulos al demostrar que el completado separado de todo gran módulo de Cohen-Macaulay verifica esta propiedad. Finalmente, R.Y. Sharp, quien los denomina "Grandes Módulos de Cohen-Macaulay Equilibrados", inicia un estudio sistemático con la idea base de que los grandes módulos de Cohen-Macaulay constituyen una buena generalización al caso no finito de la noción Cohen-Macaulay.

El objetivo de esta Memoria es entonces el estudio de los grandes módulos de Cohen-Macaulay equilibrados desde tres puntos de vista distintos:

- El del grado y la dimensión de Krull.
- El de la conservación de la propiedad por extensión plana de escalares.
- El de las propiedades nomológicas relacionadas con la dimensión inyectiva. Estas cuestiones constituyen respectivamente los capítulos 2º, 3º y 4º de esta Memoria. En cada caso mostramos las diferencias y anomalías que se producen respecto al caso de generación finita.

Dada la no finitud de los grandes módulos de Cohen-Macaulay equilibrados es necesario utilizar métodos específicos en su estudio. Hacemos notar que en lo referente al grado se dispone de los métodos desarrollados recientemente por H.-B. Foxby en el contexto más general de su Teoría de Complejos y otros trabajos previos. Por el contrario, ha sido necesario desarrollarlos para aquellas cuestiones relacionadas con la dimensión de Krull, y en especial lo relativo a los sistemas de parámetros. Todo ello configura el primer capítulo de esta Memoria.

Deseo agradecer al Dr. Rafael Mallol, de quien recibí mis primeras lecciones de Álgebra Conmutativa, el haber aceptado de la Dirección de esta Memoria y el interés puesto en ella. Así mismo, debo agradecer al Dr. José María Giral toda su colaboración e inestimables consejos, especialmente durante el período de tiempo que fui becario de la Fundación Agustí Pedro i Pons de la Universidad de Barcelona y en el que se elaboró parte de esta Memoria.

On symplectic linearization of singular Lagrangian foliations

Tue, 12 Apr 2011 13:17:10 GMT

On symplectic linearization of singular Lagrangian foliations Miranda Galcerán, Eva En esta tesis se estudia el problema de clasificación de estructuras simplécticas definidas en un entorno de una órbita singular compacta de un sistema completamente integrable sobre una variedad simpléctica para las cuales la foliación determinada por la aplicación momento es genéricamente Lagrangiana. Dicha foliación está determinada por las órbitas de la distribución generada por los gradientes simplécticos de las componentes de la aplicación momento "F". En dicho estudio suponemos que la aplicación momento es una aplicación propia y que la singularidad es no-degenerada en el sentido de Morse-Bolt.

Los invariantes diferenciables para dicha foliación vienen determinados por el rango de la órbita, el tipo de Williamson y un grupo "twisting" actuando sobre las componentes hiperbólicas. Dichos invariantes determinan un modelo lineal diferenciable para la foliación. Bajo estas hipótesis demostramos que dadas dos estructuras simplécticas "omega_1"y "omega_2" para las cuales la foliación es genéricamente Lagrangiana son equivalentes en el sentido siguiente: existe un difeomorfismo definido en un entorno de la órbita singular compacta preservando la foliación y enviando "omega_1" a "omega_2".

En el caso en que exista una acción simpléctica de un grupo de Lie compacto "G" que conserva la aplicación momento "F", probamos que existe un difeomorfismo cumpliendo las condiciones anteriores y que además dicho difeomorfismo puede construirse de forma "G"-equivariante.

En esta tesis también damos una aplicación de este resultado de clasificación en geometría de contacto.

Galois Theory of Module Fields

Tue, 12 Apr 2011 13:17:09 GMT

Galois Theory of Module Fields Heiderich, Florian This thesis is about Galois theory.

The development of a Galois theory for differential equations analogous to the classical Galois theory for polynomial equations was already an aim of S. Lie in the 19th century. The first step in this direction was the development of a Galois theory for linear differential equations due to E. Picard and E. Vessiot. Later, B.H. Matzat and M. van der Put created a theory for iterative differential equations in positive characteristic. H. Umemura constructed a Galois theory for algebraic differential equations in characteristic zero.

There also exist analog theories for difference equations, starting with a theory for linear difference equations till the one due to S. Morikawa and H. Umemura for algebraic difference equations.

M. Takeuchi, K. Amano and A. Masuoka unified Galois theories for linear differential and linear difference equations using the language of module algebras.

This thesis has two goals. The first is the development of a more general Galois theory that combines the capacity of the theories of H. Umemura and S. Morikawa, which allow the treatment of field extensions of big generality, with the advantage of the formulation of K. Amano and A. Masuoka, which unifies structures like derivations and automorphisms. The second goal is the removal of the restriction to fields of characteristic zero from the theories of H. Umemura and S. Morikawa.

KEY WORDS: Galois Theory, Differential Equation, Difference Equation, Module Algebra; Esta tesis se desarrolla en torno a la teoría de Galois.

El desarrollo de una teoría de Galois para ecuaciones diferenciales análoga a la de ecuaciones polinomiales fue ya un objetivo de S. Lie en el siglo XIX. El primer paso en esta dirección fue el desarrollo de una teoría de Galois para ecuaciones diferenciales lineales, debido a E. Picard y E. Vessiot. Después B.H. Matzat y M. van der Put crearon una teoría para ecuaciones diferenciales iterativas lineales en característica positiva. H. Umemura elaboró una teoría de Galois para ecuaciones diferenciales algebraicas en característica cero.

Existen teorías análogas para ecuaciones en diferencias, empezando con una teoría de Galois para ecuaciones en diferencias lineales, hasta la de S. Morikawa y H. Umemura para ecuaciones en diferencias algebraicas.

M. Takeuchi, K. Amano y A. Masuoka unificaron las teorías de Galois para ecuaciones diferenciales lineales y para ecuaciones lineales en diferencias usando el lenguaje de módulo álgebras.

Esta tesis tiene dos objetivos principales. El primero es el desarrollo de una teoría de Galois más general que combine la capacidad de las teorías de H. Umemura y S. Morikawa, que permite tratar extensiones de cuerpos de gran generalidad, con la ventaja de la formulación de K. Amano y A. Masuoka que unifica estructuras como las derivaciones y los automorfismos. El segundo objetivo es el de eliminar la restricción a cuerpos de característica cero de las teorías de H. Umemura y S. Morikawa.

PALABRAS CLAVE: Teoría de Galois, Ecuación diferencial, Ecuación en diferencias, Módulo álgebras

Nombres d'extensions abelianes i les seves funcions generatrius

Tue, 12 Apr 2011 13:17:09 GMT

Nombres d'extensions abelianes i les seves funcions generatrius Travesa i Grau, Artur Aquesta memona està dedicada a l'estudi dels nombres d'extensions abelianes en dos casos importants. En el primer capítol treballem en el cas local. Sigui K una extensió finita de Q(p); M. Krasner el 1.966 i J-P. Serre el 1.978 varen obtenir el nombre de totes les extensions de K de grau donat. En aquesta memòria estudiem els següents problemes:

Problema 1.- Donats enters positius e,n:

a) caracteritzar en quins casos és no buit el conjunt M(ab)(n,e;K) de totes les extensions abelianes de grau "n" de K amb índex de ramificació e;

b) calcular el cardinal a(n,e;K) de M(ab)(n,e;K), per a totes les parelles (n,e);
c) calcular el nombre a(n;K) de totes les extensions abelianes de grau "n" de K.

Seguidament introduïm la funció generatriu de tots els nombres a(n;K), nombres que posem com a coeficients d'una sèrie de Dirichlet.

Problema 2.- Estudiar aquesta funció generatriu; especialment, la seva extensió meromorfa a tot el pla complex i els seus pols.

En els capítols II i III treballem en el cas en què el cos base és el cos Q dels nombres racionals. Fixem un conjunt finit P = {p(1),p(2),...,p(k)} d'enters primers p(i)
M(ab)(n;P) = {K/Q:K/Q abeliana, [K:Q] = n i K/Q no ramificada fora de P},i

M(ab)(n, e, P)={K pertany a (M)(ab)(n;P): e(pi)(K/Q)=e(i, 1 -/= i -/= k}, on e = (e(1),e(2),...,e(k)) és un vector format per enters e(1)> 1.

Estudiem, aleshores, els següents problemes:

Problema 1'.- Donats P, e, n:

a) caracteritzar quan> (M)ab(n, e, P) és no buit;

b) calcular el cardinal de M(ab)(n, e, P);

c) caracteritzar quan M(ab)(n;P) és no buit;

d) calcular el cardinal, a(n;P) de M(ab)(n;P).

Introduïm també la funció generatriu dels nombres a(n;P).

Problema 2'.- Estudiar aquesta funció generatriu, com en el cas local.

Tots els resultats de teoria de grups que necessitem s'inclouen en un apèndix. Tracten del nombre de subgrups d'un p-grup abelià finit que satisfan certes condicions. Tot i que les solucions d'alguns d'aquests problemes són conegudes, en donem aquí una solució completa de manera que els resultats es puguin aplicar directament als problemes de cossos plantejats.

; This memory is devoted to the study of the number of abelian extensions in two important cases. In the first chapter we work in the local case. Let K be a finite extension of Q(p); M. Krasner in 1.966 and J.P. Serre in 1.978 have obtained the number of all extensions of K with given degree.

Sobre extensiones centrales en una variedad de grupos

Tue, 12 Apr 2011 13:17:09 GMT

Sobre extensiones centrales en una variedad de grupos Llerena Rodríguez, Irene Si G es un grupo de una variedad V de exponente cero y A un G-módulo fivial se estudia la inclusión del grupo (G A) de las extensiones de G por A' en V en el grupo H2 (G A) de todas las extensiones demostrando la exactitud y naturalidad de la sucesión (G A) H2 (G A) HOM (I A) EXT (VQ A) EXT (H2Q A) EXT (I A) donde I = KER (H2G VG). Se estudian a continuación algunos casos particulares: A) Si VG es libre de torsión entonces (G A) es puro en H2 (G A), B) Si G es nilpotente y A libre (G A) es un mando directivo H2 (G A).

Dimensión de Krull y propiedad de "going-between" en una extensión de anillos

Tue, 12 Apr 2011 13:17:08 GMT

Dimensión de Krull y propiedad de "going-between" en una extensión de anillos Giral Silió, José María DE LA TESIS:

La noción de "ideal primo" (Dedekind 1871) ha ido adquiriendo cada vez mayor importancia hasta ocupar, con la Teoría de Esquemas de Grothendieck el centro mismo del Algebra Conmutativa. El estudio de los anillos conmutativos se convierte así en el de los esquemas afines con base en espacios topológicos que son el espectro primo de un anillo conmutativo, correspondiéndose funtorialmente los homomorfismos de anillos A->B con morfismos de esquemas que inducen en los espacios base las aplicaciones continuas Spec B -> Spec A.

Un responsable fundamental en una parte de esta evolución es W. Krull (1899-1971). Señalemos algunos aspectos de su contribución únicamente desde el punto de vista de nuestro trabajo. A Krull se debe (en 1926) la definición de dimensión de un anillo como supremo de las longitudes de las cadenas de ideales primos de A asociando por primera vez el objeto geométrico Spec A al objeto algebraico A. Su famoso "Hauptidealsatz" hace que, en palabras de Northcott un anillo noetheriano deje de ser un pálido reflejo de un anillo de polinomios y convierte al conjunto ordenado Spec A en algo semejante al conjunto de subvariedades irreducibles de una variedad algebraica afín Spec A verifica la condición de cadena descendente en un sentido fuerte la altura de un ideal primo es finita entre dos ideales primos comparables no adyacentes existen infinitos ideales primos, etc. Más tarde Krull demuestra que si A es un anillo local regular h(P)+ch(P)=dim A para todo P Spec A

Pasamos a describir el contenido de la memoria en términos generales Un complemento de esta descripción son las introducciones a los tres capítulos de que consta así como los comenta nos intercalados en ellos. Se ha preferido prescindir de capítulo 0 y de enunciados de definiciones y resultados conocidos, salvo en contadas ocasiones bien especificadas. A cambio se citan con precisión todos los datos utilizados a riesgo de ser a veces un poco prolijos. El estudio de la propiedad de going-between ocupa los capítulos II y III de nuestra memoria El capítulo I es independiente de dicha propiedad y tiene como fin básico el cálculo de la dimensión de Krull en una extensión de anillos. Parte de los resultados son utilizados luego en los dos capítulos posteriores pero creemos que primordialmente son de interés por sí mismos. La motivación principal está en conseguir para una extensión ACB de anillos íntegros fórmulas que relacionen dim B con dim A y gr tr (A)B en las condiciones mas generales posibles. Tales fórmulas existen en la literatura solo cuando B es un anillo de polinomios ó una extensión entera aparte del clásico caso de las álgebras afines sobre un cuerpo El objetivo se logra de hecho de forma óptima con la única restricción de que A sea un anillo noetheriano.

Se comienza el capítulo I introduciendo lo que hemos llamado radical dimensional de un anillo y dando métodos de calculo de dicho ideal y también de la intersección de ciertas familias de idea les primos de un anillo noetheriano relacionadas con la dimensión. El radical dimensional aparece luego como la obstrucción a que la dimensión de Krull pueda expresarse para un anillo noetheriano cualquiera en términos del grado de trascendencia como ocurre con las álgebras afines sobre un cuerpo.

En el capítulo II se comienza el estudio de la propiedad de "going-between". Se define lo que llamamos GB-extensión A C B es una GB-extensión si la aplicación Spec B -> Spec A tiene la propiedad de "going-between". Tras el examen de las generalidades del caso se centra el interés en la relación entre GB-extensiones y las más simples GD-extensiones, definidas relativamente a la propiedad de "going-down". Se observa el papel de puente que van a jugar en ello los anillos de valoración a causa de la simplicidad de su espectro.

El capítulo III presenta los resultados de mayor interés (y sin duda los más complejos) en torno a la propiedad de "going-between". Se trata en definitiva de averiguar qué anillos noetherianos son GB(2)-anillos lamentablemente la condición se revela muy restrictiva por encima de la dimensión 3. Se abordan con diferentes métodos dos casos fundamentales anillos que son álgebras finitogeneradas y anillos de series formales.

Resulta obligado explicar la disparidad de los métodos empleados en las dos partes del capítulo III. La condición necesaria (III 1-1) es en principio de generalidad total, pero plantea a su vez un difícil problema (conjetura de Kaplansky-Hochster) cuando se puede asegurar que dos ideales primos de altura 2 contienen simultáneamente algún ideal primo de altura 1. Aunque en ciertos casos geométricos el problema aparece como "naif", existen contraejemplos al caso general y de hecho sólo recientemente se tienen datos positivos en anillos de polinomios (McAdam). Esto explica el largo y paciente peregrinaje que representan las demostraciones de las proposiciones (III 1-4) y (III 1-6) antes mencionadas y la forma de sus enunciados. Asimismo pone de manifiesto que el método no es aplicable a los anillos de series.

Finalmente digamos que los resultados obtenidos hacen pensar como improbable la existencia de GB(2)-anillos noetherianos de dimensión superior a 3 e incluso en éste último caso, un GB(2)-anillo aparece como algo muy semejante a un anillo henseliano.

Sobre la profundidad de los anillos graduados asociados a una filtración

Tue, 12 Apr 2011 13:17:08 GMT

Sobre la profundidad de los anillos graduados asociados a una filtración Cortadellas Benítez, Teresa Entenderemos por anillos "blowup" cierto tipo de anillos graduados asociados a filtraciones de un anillo conmutativo A. Los anillos blowup aparecen a menudo en Algebra Conmutativa y Geometría Algebraica. Expondremos a continuación algunas de las aplicaciones de estos anillos en diversos problemas y que han motivado el estudio de sus propiedades. En el estudio de singularidades aparecen también anillos "blowup" asociados a filtraciones no ádicas. Otra de las aplicaciones de los anillos blowup es la construcción de contraejemplos al Problema 14 de Hilbert. Además, buenas propiedades aritméticas de los anillos "blowup" asociados a un ideal nos aseguran un buen comportamiento de sus funciones de Hilbert y viceversa.

Lo anterior supone una pequeña ilustración de las múltiples ocasiones en que aparecen los anillos "blowup" y de porqué es interesante el estudio de sus propiedades aritméticas.

En esta memoria estudiaremos principalmente la profundidad, y en particular la propiedad Cohen-Macaulay de los anillos y módulos "blowup" noetherianos asociados a filtraciones generales de un anillo local (A, m) de dimensión d. Diversos autores se han dedicado al estudio de tal propiedad en el caso de filtraciones ádicas en los últimos años el número de trabajos en esta dirección ha sido muy alto. Podemos destacar esencialmente dos tipos de resultados. Por una parte, los que relacionan la propiedad Cohen-Macaulay de A, GA{I) y RA{I) y, por otra, resultados positivos acerca de la propiedad Cohen-Macaulay de los mismos. Un tercer tipo de resultados sería el estudio de la propiedad Cohen-Macaulay de Fm(/), pero los resultados conocidos en este sentido son escasos.

Un problema aritmético sobre las sumas de tres cuadrados

Tue, 12 Apr 2011 13:17:07 GMT

Un problema aritmético sobre las sumas de tres cuadrados Arenas Sola, Ángela DE LA TESIS:

Fermat, motivado por la lectura de Diofanto, conjeturó que todo entero primo congruente con 1 módulo 4 es representable de manera única, salvo el signo y el orden, como suma de dos cuadrados; también propuso que todo entero positivo es suma de cuatro cuadrados. Estos resultados fueron probados por Euler y Lagrange.

La caracterización de los enteros representables como suma de tres cuadrados fue dada por Legendre. Gauss dio el número total de representaciones primitivas de un entero "n" como suma de tres cuadrados, en función del número de clases de formas cuadráticas binarias de discriminante -"n".

El cálculo del número de representaciones de un entero como suma de 2, 4, 6 y 8 cuadrados fue llevado a cabo por Jacobi, mediante la teoría de funciones elípticas. Las fórmulas correspondientes se obtienen igualando coeficientes en ciertas identidades satisfechas por su función "theta". Las investigaciones de Jacobi fueron proseguidas por Liouville y Ramanujan, entre otros, y en ellas se encuentra uno de los orígenes del estudio de las llamadas formas modulares de peso entero.

En general, el cálculo del número de representaciones de un entero por una forma cuadrática, entera, concreta es muy complicado y resulta imposible obtener formulas exactas que expresen dicho número. Para paliar este inconveniente, Gauss, en el caso de formas cuadráticas binarias, introdujo el concepto de género; este fue convenientemente extendido por Eisenstein, Smith y Minkowski a formas de un número mayor de variables. Siegel en 1935 dio formulas para una media, convenientemente ponderada, del número de representaciones de un entero por todas las formas que integran un género.

El estudio por vía analítica, análogo al de Jacobi, del número de representaciones de un entero como suma de un número impar de cuadrados fue comenzado por Hardy y Mordell, y conduce al estudio de las formas modulares de peso semientero. Este último concepto puede decirse que no ha sido completamente clarificado hasta los trabajos de Shimura de 1973. El caso de tres variables es el más delicado; hasta 1984, en el trabajo de Schulze-Pillot, no se ha probado que la serie "theta" del genero de una forma cuadrática ternaria es una serie de Eisenstein.

En esta memoria nos ocupamos del siguiente problema relativo a las sumas de tres cuadrados:

Dado un entero "n", hallar el valor de "e" máximo del cual se puede afirmar que existe una representación de "n" como suma de tres cuadrados = x(2 / 1) + x(2 / 2) + x (2 / 3), con "e" sumandos primos con "n"

Este problema, aparte de su interés intrínseco, ha sido motivado por su conexión con la búsqueda de enteros "n" para los cuales toda extensión central del grupo alternado A(n) es grupo de Galois sobre "Q".

La única referencia existente en la literatura de un problema análogo al que nos ocupa es el resultado elemental de Catalan, de 1880, de que toda potencia de 3 es suma de tres cuadrados primos con 3.

La presente memoria está dividida en seis capítulos:

En el primer capítulo se hace la presentación del problema, diciéndose de él todo lo que se puede mediante métodos elementales. Se detalla asimismo su relación con el problema inverso de la teoría de Galois, antes mencionado.

En el segundo capítulo se dan fórmulas que, de todas las representaciones de un entero como suma de tres cuadrados, descuentan aquellas que tienen "k" términos no primos con "n", para "k" = 1, 2, 3. Como estas formulas son de evaluación imposible, se definen a su vez, en este capítulo, unas fórmulas en "media" que aproximan a las primeras y son evaluables. El estudio de estas últimas se lleva a cabo en los capítulos III y IV.

En el capítulo V se estudia el error cometido en la utilización de las formulas en "media" en vez de las fórmulas exactas.

Todo ello permite en el capítulo VI dar una respuesta al problema.

Localización y conservación de estructuras en homotopía estable

Tue, 12 Apr 2011 13:17:07 GMT

Localización y conservación de estructuras en homotopía estable Gutiérrez Marín, Javier J. EN CASTELLANO:

La localización es una técnica bien conocida en álgebra conmutativa y geometría algebraica. Muchas de las propiedades formales de las localizaciones de módulos son compartidas por otras transformaciones de naturaleza parecida definidas en otros contextos. Este hecho ha conducido a una axiomatización del concepto de funtor de localización en categorías arbitrarias, con una terminología similar a la del álgebra.

La implementación de la localización en topología algebraica tuvo sus raíces en los trabajos de Serre y Adams, y se comenzó a formalizar principalmente gracias a las contribuciones de Sullivan y Quillen.

Las localizaciones homológicas fueron la vía principal de transporte a la homotopía estable, así como la herramienta principal para el cálculo de los grupos de homotopía estables de las esferas durante muchos años.

En las dos últimas décadas ha ido aumentando cada vez más el uso de técnicas del álgebra conmutativa en homotopía estable. La teoría de homotopía estable se centra en el estudio de los espectros y captura una parte esencial de las propiedades homotópicas de los espacios, prescindiendo de los fenómenos peculiares que se dan en dimensiones concretas. El tratamiento axiomático de la categoría estable utilizando el lenguaje de categorías de modelos y categorías trianguladas ha dado lugar a nuevas categorías estables, como la categoría de los espectros simétricos o la categoría de los S-módulos, que permiten trasladar fielmente diversas técnicas y construcciones del álgebra conmutativa a la categoría estable, y trabajar con "espectros anillo" y "espectros módulo" de la misma manera que con sus análogos algebraicos.

El objetivo principal de esta memoria es el estudio de los funtores de localización en homotopía estable, centrándose fundamentalmente en las estructuras algebraicas que se conservan bajo la acción de estos funtores. Uno de los resultados centrales de este trabajo establece que bajo hipótesis apropiadas, los funtores de localización en la categoría homotópica estable conservan álgebras sobre opéradas. En particular, transforman espectros anillo en espectros anillo, y espectros módulo sobre un anillo en espectros módulo sobre el mismo espectro anillo (o incluso sobre el localizado de ese espectro).; Localization is a well-known technique in commutative algebra and algebraic geometry. Many of the formal properties of localization of modules are shared by other transformations of similar nature defined in different contexts. This fact has led to an axiomatization of the concept of localization functor in arbitrary categories, with a terminology similar to the one used in algebra.

The implementation of localization in algebraic topology had its roots in the work of Serre and Adams, and it begun to formalize thanks to the contributions of Sullivan and Quillen.

Homological localizations were the main connection to stable homotopy and a key tool for the computation of the stable homotopy groups of the spheres for many years.

In the last two decades the use of commutative algebra techniques in stable homotopy has increased considerably. Stable homotopy theory is focused on the study of spectra and captures an essential part of the homotopical properties of spaces, by forgetting particular phenomena occurring in concrete dimensions. The axiomatic treatment of the stable category using the language of model categories and triangulated categories has produced new stable categories, such as the category of symmetric spectra or the category of S-modules. These new categories allow to translate different techniques and constructions from commutative algebra to the stable category, and to work with "ring spectra" and "module spectra" in the same way as with their algebraic counterparts.

The main objective of this thesis is the study of localization functors in stable homotopy and the algebraic structures that these functors preserve. One of the central results of this work states that, under suitable conditions, localization functors in the stable homotopy category preserve algebras over operads. In particular, they send ring spectra to ring spectra, and modules over a ring spectrum to modules over the same ring spectrum (or even over the localization of the ring).

Variedades de Prym de curvas bielípticas.

Tue, 12 Apr 2011 13:17:06 GMT

Variedades de Prym de curvas bielípticas. Naranjo del Val, Juan Carlos Las variedades de Prym forman una clase de variedades abelianas principalmente polarizadas más general que las jacobianas. Se definen asociando a un morfismo no ramificado de grado 2 entre curvas algebraicas irreducibles y lisas la componente neutra del núcleo de la aplicación norma inducida entre las respectivas jacobianas. Llamamos aplicación de Prym a la asignación correspondiente. Análogamente al caso de las jacobianas el problema de Torelli cuestiona si la variedad de Prym determina el recubrimiento, es decir si la aplicación de Prym es inyectiva. Es conocido que para un recubrimiento general en el que la curva imagen tiene género mayor o igual a 7 la respuesta es afirmativa. Por otro lado, una construcción debida a Donagi y llamada construcción tetragonal proporciona ejemplos de elementos diferentes con la misma variedad de Prym asociada y género arbitrario. Es decir, la aplicación de Prym no es inyectiva en ningún caso. La conjetura tetragonal afirma que éstos son los únicos ejemplos de no inyectividad.

En esta tesis se estudia la fibra de la aplicación de Prym para un recubrimiento doble no ramificado convexo de una curva bielíptica general (Una curva bielíptica es aquella que admite un morfismo de grado 2 sobre una curva elíptica). Se demuestra que en este contexto existe una construcción diferente de la tetragonal que también proporciona ejemplos de no inyectividad. A continuación se prueba que ambas construcciones (la tetragonal y la obtenida) explican en su totalidad la fibra que se desea estudiar. En particular, se obtiene un contraejemplo a la conjetura tetragonal y se prueba que es el único contraejemplo en el contexto bielíptico general

Stability and moduli spaces of syzygy bundles

Tue, 12 Apr 2011 13:17:06 GMT

Stability and moduli spaces of syzygy bundles Macías Marques, Pedro To determine whether a syzygy bundle on PN is stable, or semistable, is a long-standing problem in algebraic geometry. It is closely related to the problem of finding the Hilbert function and the minimal free resolution of the coordinate ring of the variety defined by a family of general homogeneous polynomials f1, . . . , fn in K[X0, . . . ,XN]. This problem goes back at least to the eighties, when Fröberg addresses it in his paper, to find a lower estimate for the Hilbert series of such a ring in terms of the degrees of f1, . . . , fn.

In this thesis we consider the case of syzygy bundles defined by general forms f1, . . . , fn of the same degree d, and prove their stability and unobstructedness for N ≥ 2, except for the case (N, d, n) = (2, 2, 5), where only semistability is guaranteed. To this end, we focus on the case of monomials and derive consequences for general forms from here. The main goal of this work is therefore to give a complete answer to the following problem: Does there exist for every d and every n ≤ (d+N / N) a family of n monomials in K [X0, . . . ,XN] of degree d such that their syzygy bundle is semistable?; Determinar si un fibrat de sizígies sobre P(N) és estable, o semiestable, és un problema amb una llarga història en geometria algebraica. Està estretament relacionat amb el problema de trobar la resolució lliure minimal de l'anell de coordenades de la varietat definida per una família de polinomis homogenis genèrics f(1), . . . , f(n) en K[X0, . . . ,XN]. Aquest problema data almenys dels anys vuitanta, quan Fröberg l'estudia al seu article i troba una estimació per a un minorant de la sèrie de Hilbert d'aquell anell en termes dels graus dels polinomis f(1), . . . , f(n).

En aquesta tesi, considerem el cas de fibrats de sizígies definits per formes genèriques f(1), . . . , f(n) d'un mateix grau "d", i demostrem la seva estabilitat i no obstrucció per a N ≥ 2, excepte en el cas (N, d, n) = (2, 2, 5), on només la semiestabilitat està garantida. Per dur a terme aquesta tasca, ens restringirme primer al cas de monomis i en traurem conseqüències per al cas de formes genèriques. Per això, l'objectiu principal d'aquesta tesi és donar una resposta completa al problema següent: "Existeix per a cada d i cada n ≤ (d+N / N) una família de n monomis en K [X0, . . . ,XN] de grau "d" tal que el seu fibrat de sizígies és semiestable?

Galois representations and tame Galois realizations

Tue, 12 Apr 2011 13:17:05 GMT

Galois representations and tame Galois realizations Arias de Reyna Domínguez, Sara The background of this dissertation is the inverse Galois problem.
Which finite groups can occur as Galois groups of an extension of the rational field? This problem was first considered by D. Hilbert, and it still remains open.

Assume that a finite group G can be realized as a Galois group over Q. We can ask whether there exists some other finite Galois extension, with Galois group G and enjoying an additional ramification property. In this connection, several variants of the Inverse Galois Problem have been studied. In this dissertation, we shall address the following problem, posed by Brian Birch around 1994.

Tame Inverse Galois Problem. Given a finite group G, is there a tamely ramified Galois extension K/Q with Galois group G?

In this thesis we address this problem by studying the Galois representations attached to arithmetic-geometric objects such as elliptic curves, or more generally abelian varieties, and modular forms. We seek conditions that ensure that the action of the wild inertia group at all primes is trivial. Note that this strategy of constructing Galois representations such that the image of the wild inertia group at all primes is trivial can be encompassed in the general trend of constructing Galois representations with prefixed local behaviour.

This dissertation is split into two parts. In the first part, we tackle the realization of families of two dimensional linear groups over a finite field as the Galois group of a tamely ramified extension of Q. We study the Galois representations attached to elliptic curves and to modular forms. In the second part we address the problem of realizing a family of four dimensional linear groups over a prime field as the Galois group of a tamely ramified extension of Q. In this part we study the action of the inertia group upon the l-torsion points of the formal group attached to an abelian variety, and obtain a general result that allows us to control the action of the wild inertia group. We apply this result to the formal group attached to abelian surfaces. More precisely, we consider the Jacobians of bielliptic supersingular genus 2 curves, suitably chosen so that we can control the size of the image of the corresponding representation.

The main results we have obtained are the following.

Theorem. Let l be a prime number. There exist infinitely many semistable elliptic curves E with good supersingular reduction at l. The Galois representation attached to the l-torsion points of E provides a tame Galois realization of GL(2, F_l).

Furthermore, we give an explicit algorithm to construct these elliptic curves. The primes l=2, 3, 5, 7 have been considered separately.

Theorem. Let l be a prime number greater than 3. There exist infinitely many genus 2 curves C such that the Galois representation attached to the l-torsion points of the Jacobian of C provides a tame Galois realization of GSp(4, F_l).

As in the previous result, we give an explicit algorithm that enables us to construct these curves.

In addition, we have obtained tame Galois realizations of groups of the form PSL(2, F_(l^2)) for several values of l.; Esta tesis se desarrolla en torno al Problema Inverso de la Teoría de Galois sobre el cuerpo de los números racionales. Este problema, que fue considerado por primera vez por D. Hilbert, es un problema abierto. En 1994, B. Birch plantea la siguiente variante de este problema, conocida como problema inverso moderado de la teoría de Galois. Dado un grupo finito G, ¿existe una extensión de Galois K/Q, moderadamente ramificada, con grupo de Galois G?

En esta tesis abordamos este problema mediante el estudio de las representaciones de Galois asociadas a objetos aritmético-geométricos, concretamente a curvas elípticas, formas modulares y variedades abelianas. Encontramos condiciones explícitas que garantizan que para todo primo, la imagen del grupo de inercia salvaje es trivial.

La memoria está dividida en dos partes. El objetivo de la primera parte es la obtención de realizaciones moderadas de grupos lineales 2-dimensionales sobre un cuerpo finito como grupos de Galois sobre Q. Dado un número primo l, demostramos que existen infinitas curvas elípticas semiestables E/Q con buena reducción supersingular en l. La representación de Galois asociada a los puntos de l-torsión de E da lugar a una realización de GL(2, F_l) como grupo de Galois de una extensión de Q moderadamente ramificada.

A continuación se consideran las representaciones de Galois asociadas a formas modulares. Obtenemos realizaciones de Galois moderadas para algunos grupos de la familia PSL(2, F_(l^2)).

El objetivo de la segunda parte es la obtención de realizaciones moderadas de los grupos lineales de la familia GSp(4, F_l).
Estudiamos la acción de la inercia sobre los puntos de l-torsión del grupo formal asociado a una variedad abeliana, y obtenemos un resultado general que nos permite controlar la acción de la inercia salvaje. Aplicamos este resultado al caso de superficies abelianas. Concretamente, consideramos las Jacobianas de curvas de género 2 bielípticas supersingulares, construidas de forma conveniente para controlar la imagen de la representación asociada. Demostramos que, dado un número primo l mayor que 3, existen infinitas curvas C de género 2 tales que la representación de Galois asociada a los puntos de l-torsión de la Jacobiana de C proporciona una realización de GSp(4, F_l) como grupo de Galois de una extensión moderadamente ramificada de Q.

Filtraciones simbólicas y sus álgebras asociadas

Tue, 12 Apr 2011 13:17:05 GMT

Filtraciones simbólicas y sus álgebras asociadas Martí Farré, Jaume Dados un ideal I de un anillo Noetheriano R y un sistema multiplicativo S de R, se establecen tres tipos de caracterizaciones para la equivalencia; la equivalencia lineal, y la igualdad entre las filtraciones I-adica, (S)-simbólica y entera asociadas a I y a S: 1) Caracterizaciones topológicas, a partir de resultados generales de comparación de topologías definidas por filtraciones arbitrarias. 2) Mediante desigualdades entre alturas, dispersiones analíticas y dimensiones. 3) Caracterizaciones homológicas, en términos de la anulación de ciertos morfismos naturales entre grupos O-ésimos de cohomología local y functores EXT, y también en términos de anulación de ciertos grupos I-ésimos de cohomología local respecto I. Estos resultados se aplican al estudio de propiedades de finitud del algebra de Rees (S)-simbólica asociada a I, y a la determinación de que propiedades del anillo graduado asociado a I reflejan un buen comportamiento de las potencias (S)-simbólicas de I.